Реферат: Закон сохранения момента количества движения в физике магнитных явлений

В начале предыдущего параграфа мы показали, что магнитное взаимодействие мало и им можно без существенных потерь пренебречь. Но в таком случае остается только электростатическое взаимодействие, которое не чувствительно к спиновому состоянию электронов. Действительно, электроны, спины которых "параллельны", и электроны, спины которых "антипараллельны", отталкиваются друг от друга с одинаковой силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Почему же спин у электронов марганца равен 5/2, а у электронов в молекуле водорода - нулю? Казалось бы, не должно быть никакой связи между энергией электронной системы и ее спином, во всяком случае до тех пор, пока мы не учтем магнитное взаимодействие. В действительности, связь есть. Она возникает из-за антисимметрии волновой функции электронов.

Рассмотрим для простоты систему, состоящую из двух электронов, связанных только электростатическими силами. Пренебрежение магнитным взаимодействием означает, что, решая задачу об энергии системы, мы можем вообще забыть о спинах электронов. Пусть  - волновая функция, описывающая орбитальное движение электронов. Мы подчеркнули это, явно выписав аргументы волновой функции - координаты электронов  и ; спиновые переменные опущены. Совсем забывать о спиновых переменных нельзя, так как полная волновая функция  должна быть антисимметричной (см. (15)). Нам придется ограничиться констатацией того, что полная волновая функция  есть произведение спиновой функции , описывающей спиновое состояние электронов ( - спиновые переменные), и орбитальной , описывающей их орбитальное движение:

.

Мы видели, что спиновая конфигурация может быть симметричной (при S = 1) или антисимметричной (при S = 0). Но вся функция  - антисимметрична. Следовательно, симметричной спиновой функции соответствует антисимметричная орбитальная, и наоборот. Отсюда вытекает следующее утверждение:

при S = 0  - симметричная функция,

при S = 1  - антисимметричная функция.

Симметричные и антисимметричные функции  и  описывают разные орбитальные движения электронов и поэтому им отвечают разные энергии. Какая энергия окажется меньше, зависит от конкретной задачи. В молекуле водорода минимальная энергия соответствует симметричной волновой функции, описывающей орбитальное движение. Именно поэтому электронный спин у  равен нулю.

Полученному здесь результату - зависимости энергии системы электронов от симметрии волновой функции, а, как следствие, - от спина, - можно придать форму, которая позволит говорить о своеобразном обменном взаимодействии между электронами.

Обозначим через  энергию электронов, соответствующую волновой функции , а через  - энергию, соответствующую . Из сказанного выше существует соответствие между энергией системы и ее спином:

Мы составим из спинов электронов выражение (оно носит название спинового гамильтониана и обозначается ), которое при S = 0 принимает значение , а при S = 1 - значение .

Для этого воспользуемся формулой (10):

.

Значения, которые принимает спиновый гамильтониан , суть возможные значения энергии системы из двух электронов (те самые  и , о которых сказано выше).

Первое слагаемое  не зависит от спина системы и, как легко убедиться, есть усредненное по возможным спиновым состояниям значение энергии (три состояния с S = 1 и одно с S = 0), а второе слагаемое зависит от спина системы электронов. Разность принято записывать в виде некоторого параметра А со знаком минус. Тогда спиновому гамильтониану двух электронов можно придать вид

. (16)

Такая запись позволяет связать энергетическую выгодность состояний с S = 0 и S = 1со знаком параметра А. При А < 0 выгодно "антипараллельное" расположение спинов, а при А > 0 - "параллельное". Параметр А называют обменным интегралом, а второе слагаемое в (16) - обменной энергией или обменным взаимодействием.

Поясним происхождение терминов. Эпитет "обменный" возник из-за того, что симметричная и антисимметричная волновые функции описывают состояние электронов, меняющихся своими местами. Более того, параметр А есть мера частоты перемены мест. Его называют обменным интегралом, так как для вычисления параметра А необходимо проинтегрировать определенные выражения, содержащие волновые функции. Термин обменное взаимодействие подчеркивает, что структура спинового гамильтониана такова, будто между двумя электронами существует какое-то специфическое силовое взаимодействие, величина которого зависит от взаимного расположения спинов электронов. В этом смысле оно напоминает магнитное взаимодействие. Мерой интенсивности служит обменный интеграл А.

Подчеркнем несколько очень важных для дальнейшего обстоятельств.

) Обменное взаимодействие изотропно. Поворот всех спинов на один и тот же угол не изменяет значения обменной энергии. Это, в частности, видно из того, что в формулу (16) входит скалярное произведение спинов, не меняющееся при повороте обоих спинов на один и тот же угол.

) Интенсивность обменного взаимодействия А определяется величиной электростатической энергии электронов и поэтому не мала, хотя, как правило,  все же несколько меньше, чем средняя энергия электростатического взаимодействия (в наших обозначениях ).

) Знак обменного интеграла, согласно сказанному выше, может быть и положительным, и отрицательным. Когда речь идет о внутриатомном обменном взаимодействии, чаще всего А > 0 (что зафиксировано одним из правил Хунда); при межатомном взаимодействии чаще встречаются ситуации с А < 0, хотя случаи А > 0 не просто существуют, но и служат объяснением наиболее яркого магнитного свойства - ферромагнетизма.

В случае межатомного обменного взаимодействия (когда взаимодействующие электроны принадлежат разным атомам) обменный интеграл А существенно зависит от расстояния между атомами, резко (экспоненциально) уменьшаясь при удалении атомов друг от друга на расстояния, превосходящие размер атома. Доказать, это, конечно, можно, только подставив конкретные волновые функции в конкретный обменный интеграл, а представить себе, наверное, не так трудно, если вспомнить, что обменное взаимодействие - результат обмена местами электронов.

В заключение приведем небольшую схему, фиксирующую логику этого пособия:

7. Обменное взаимодействие

Обменное взаимодействие, специфическое квантово-механическое взаимодействие тождественных частиц, в частности электронов <#"866375.files/image168.gif"> (17)

 (18)

где -интеграл перекрывания электронных волновых функций атомов <#"866375.files/image171.gif"> и  на соответствующие спиновые функции (спин-функции). Из требования антисимметричности вытекает, что функция  отвечает противоположному направлению спинов <#"866375.files/image174.gif"> - параллельно направленным спинам <#"866375.files/image175.gif"> и  соответственно) вычисляется как среднее значение оператора <#"866375.files/image177.gif"> (19) где

 (20)

 (21)

Интеграл К представляет классическую энергию кулоновского взаимодействия пространственно распределенных зарядов; интеграл А называется обменным интегралом, характеризует энергию обменного взаимодействия и не имеет классического аналога. Он появляется вследствие того, что каждый электрон <#"866375.files/image180.gif"> вероятность для электронов <#"866375.files/image181.gif"> уменьшается по сравнению с невзаимодействующей системой независимых атомов <#"866375.files/image182.gif"> N²/2 при N >> 1, в то время как энергия обменного взаимодействия пропорциональна числу ближайших пар-соседей, т.е. она пропорциональна N.

В случае многоэлектронных систем знак энергии обменного взаимодействия зависит от строения электронной оболочки взаимодействующих объектов (атомов <#"866375.files/image183.gif">, зависящий от взаимной ориентации спинов. Эта добавочная энергия - энергия обменного взаимодействия атомов сортов i и j, имеющих спиновые моменты  и :

, (22)

где J − обменный интеграл, имеющий размерность энергии. Наличие обменного интеграла в выражении для обменной энергии связано с перекрытием областей распределения электронного заряда атомов i и j. Обменная энергия не имеет классического аналога, хотя и имеет электростатическое происхождение. Она характеризует различие энергии кулоновского взаимодействия системы в случаях, когда спины параллельны и когда они антипараллельны.

Получить некоторое представление о физической природе энергии обменного взаимодействия можно, сравнив эту величину с тепловой энергией, необходимой для разрушения магнитного упорядочения. Так, у железа при температуре Кюри q тепловая энергия, приходящаяся на один атом (), необходимая для разрушения магнитного упорядочения, равна примерно 0,1 эВ. Следовательно, величина энергии упорядочивающего обменного взаимодействия, приходящаяся на один атом, должна быть того же порядка.

Если предположить не квантовый механизм упорядочения, например упорядочение под действием энергии Е, вызывающей ориентацию диполя с магнитным моментом  в поле другого диполя моментом , то такая энергия выражается соотношением , где r − расстояние между диполями. Оценка этой энергии для магнитных моментов величиной порядка одного магнетона Бора дает значение приблизительно 0,001 эВ при равновесных расстояниях между ближайшими соседними атомами в твердых телах. Следовательно, эффект дипольного взаимодействия по величине, по крайней мере, на два порядка слабее того, который обуславливает наблюдаемую на опыте величину обменной энергии.

Таким образом, обменное взаимодействие, ответственное за возникновение ферромагнетизма, нельзя описать с помощью классических моделей, оно представляет собой квантовомеханический эффект.

Установлено, что значение обменного интеграла J зависит от отношения межатомного расстояния d к диаметру a недостроенной внутренней электронной оболочки атома вещества (рис.6). Ферромагнетизм наблюдается только для элементов, у которых обменный интеграл положителен (J > 0), что выполняется для d/a > 1,5. Например, из элементов группы железа ферромагнетиком является только альфа-железо (a-Fe), кобальт (Co) и никель (Ni). Гамма-железо (g-Fe) и другие элементы этой группы ферромагнетиками не являются. Однако, в ряде случаев при изменении постоянной решетки за счет легирования другим элементом можно добиться того, что данный элемент (слабо легированный) становится ферромагнетиком. Такой эффект наблюдается у марганца (Mn) при легировании его азотом в малых концентрациях, когда отношение d/a оказывается порядка 1,5.

Рис. 6. Зависимость обменного интеграла J от отношения межатомного расстояния к радиусу недостроенной внутренней оболочки

Кроме того, имеется множество химических соединений и сплавов, в составе которых могут присутствовать не ферромагнитные элементы, но сами эти соединения и сплавы являются ферромагнетиками. Например, сплавы Mn-Cu-Al и соединения MnSb, MnBi, CrO₂, MnOFe₂O₃ и т.д. Эти факты свидетельствуют о том, что кристаллическое строение вещества является одним из факторов, определяющим принадлежность данного вещества к ферромагнетикам.

Литература

1.       Матвеев А.Н. Атомная физика. М.: Высшая школа, 2009.

2.      Гольдин Л.Л., Новикова Г.И. Квантовая физика. Вводный курс. М.: Институт компьютерных исследований, 2002.

.        Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. М.: Наука, 2003.

.        Иродов И.Е. Квантовая физика. Основные законы. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2011.