Материал: Здоровцева Г.Г. Контролируемая самостоятельная работа студентов по курсу «Общая физика». Тема «Механика точки»
Ньютона, что позволит записать соотношение между силами, приложенными к взаимодействующим телам. Следует так же учесть связи, ограничивающие возможные перемещения тел (определенная длина веревки, связывающей тела; постоянный угол наклона плоскости, по которой тела скользят и т.п.), и выразить эти связи в виде уравнений, устанавливающих соотношение между проекциями ускорений различных тел.
5. Решить систему уравнений.
Ответы получить в буквенном виде. Проверить размерность полученных результатов. Подставить численные данные задачи, выразив их предварительно в единой системе единиц; произвести вычисления с разумной точностью.
6. Провести анализ результатов.
Рассмотреть, как полученный в общем виде результат будет зависеть от соотношения данных задачи (массы тел, значения коэффициента трения, геометрических параметров, данных в условии), возможно, исследовать поведение найденной величины при различных предельных условиях. Если есть численный ответ, то его достоверность тоже следует осмыслить.
Примеры решения задач
Задача 2.1. В момент t = 0 частица массы m начинает двигаться под действием силы F = F0 cosωt , где F0 и ω – постоянные. Сколько времени частица будет двигаться до первой остановки? Какой путь она пройдет за это время? Какова максимальная скорость частицы на этом пути? В какой момент времени она будет максимальной?
Решение. Предложен типичный пример задачи, где по заданной силе надо найти кинематические характеристики движения. Запишем основное уравнение динамики точки (II закон Ньютона):
|
dv |
|
|
m |
|
= F cosωt |
(1) |
|
|||
|
dt |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Направим ось x вдоль вектора F0 , взяв за |
|
|
|
начало отсчета точку, где частица покоилась |
|
|
|
(рис. 2.1). |
|
|
|
Перепишем (1) в проекциях на ось x |
Рис. 2.1 |
|
|
21
m |
dvx |
= F cosωt . |
(2) |
|
|||
|
dt |
0 |
|
|
|
|
Найдем проекцию скорости, решив уравнение (2)
dvx = (F0 cosωt)dt m
v |
|
= |
F0 |
|
sinωt + const . |
(3) |
|
x |
mω |
||||||
|
|
|
|
||||
Постоянную интегрирования находим из условия, что точка в начальный момент покоилась.
Подставляя t = 0 и vx = 0 в (3), получаем сonst = 0. Окончательное выражение для скорости
v |
|
= |
F0 |
|
sinωt . |
(4) |
|
x |
mω |
||||||
|
|
|
|
||||
Можем ответить на первый вопрос задачи: скорость точки будет равна 0 каждый раз, когда sin ωt = 0 . Первый раз точка остановится, когда ωt = π, т.е. в момент времени
t = |
π |
. |
(5) |
|
|||
|
ω |
|
|
Именно столько времени частица будет двигаться до первой остановки.
Найдем путь, который пройдет частица за это время. Поскольку до первой остановки направление движения точки не меняется (sin ωt > 0 , vx > 0), то путь растет так же, как и координата.
Получим зависимость x(t):
v |
|
= |
dx |
= |
F0 |
|
sinωt , |
|
||||||
x |
|
|
|
mω |
|
|||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|||
dx = |
|
|
0 |
|
sinωt dt , |
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
mω |
|
|
|
|
|
|
|||||
x = − |
F0 |
|
cosωt + const . |
(6) |
||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
mω2 |
|
|
|
|
|
||||
В начальный момент (t = 0) частица находится в начале коорди-
нат (x = 0). Подставляя в (6) t = 0 и x = 0, получаем const = F0 . mω2
Уравнение движения принимает вид
22
x = |
F0 |
(1−cosωt). |
(7) |
|
mω2 |
||||
|
|
|
На рис. 2.2 приводится соответствующий график x = x(t) .
Рис. 2.2
За время до первой остановки частица пройдет путь
s = x(t |
) = |
2F0 |
. |
(8) |
|
||||
ост |
|
mω2 |
|
|
Максимальная скорость частицы на этом пути, как следует из (4), составит
F
(vx )макс = ω0 . (9)
m
Это значение скорости будет когда ωt = π , т.е. в момент
2
t = π .
2ω
Задача решена.
Задача 2.2. Найти силу, действующую на частицу массы m, если частица под действием этой силы движется в плоскости (x; y) по закону x = Asin ωt , y = B cosωt , где A, B и ω – постоянные.
Решение. Заметьте, что задача по своей постановке обратная той, что уже рассмотрена. Здесь заданы уравнения движения, надо найти силу.
Запишем II закон Ньютона.
|
|
(1) |
ma |
= F . |
Перейдем от векторной записи к скалярной, спроектировав обе части уравнения (1) на оси координат x и y:
x: max = Fx ,
23
y: may = Fy .
Проекции ускорения найдем из соответствующих уравнений движения:
a |
|
= |
dvx |
|
, |
v |
|
= |
dx |
= Aωcosωt , |
|
a |
|
= −Aω2 sinωt , |
||
|
x |
|
|
dt |
|
|
|
x |
|
dt |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
= |
dvy |
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
2 |
||
ay |
|
|
, |
vy |
= |
|
|
= −Bωsinωt |
, |
ay |
= −Bω cosωt . |
|||||
|
dt |
dt |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Проекции силы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F = −mAω2 sinωt , |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F = −mBω2 cosωt . |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
Тогда сила |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
F |
= F i |
+ F j |
= −mAω2 sinωti − mBω2 cosωt j . |
|||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Упростим полученное выражение, учитывая, что Asin ωt = x ,
B cosωt = y : |
|
|
|
|
|
|
r , |
F |
= −mω2 (xi |
+ y j) = −mω2 |
где r – радиус-вектор частицы.
В задаче 1.5 мы убедились, что заданные уравнения движения соответствуют движению точки по эллипсу. Теперь мы можем заключить, что для такого движения необходимо, чтобы на частицу все время (в любой точке траекто-
Рис. 2.3
рии) действовала сила, направленная к точке О – «центральная» сила (рис. 2.3).
Задача решена.
Задача 2.3. Небольшое тело массы m брошено с башни высотой h с начальной скоростью v0 под углом α к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти закон движения тела.
Решение. Задача относится к тому же типу, что и рассмотренная ранее задача 2.1: задана сила и начальные условия, найти кинематическое уравнение движения. Она несколько усложнена тем, что движение тела двумерное, происходит в плоскости, а не по прямой.
Востальном порядок решения тот же. Записываем основное уравнение динамики
24
|
|
(1) |
ma |
= P , |
где P – сила тяжести (рис. 2.4). Перейдем к скалярной записи урав-
нения (1). Задачу целесообразно решать в декартовой системе координат, поместив начало координат О у основания башни.
Запишем (1) в проекциях на оси ко-
Рис. 2.4
ординат
x: |
max = 0, |
(2) |
y: |
may = – mg. |
(3) |
Дополним (2) и (3) начальными условиями: |
|
|
проекции скорости в начальный момент |
|
|
|
vx (0) = v0 cosα , |
(4) |
|
vy (0) = v0 sinα; |
(5) |
координаты в начальный момент |
|
|
|
x(0) = 0, |
(6) |
|
y(0) = h. |
(7) |
Решаем дифференциальное уравнение (2) с учетом начальных
условий (4) и (6): |
|
|
||
|
dvx |
=0, vx = const, v |
|
= v cosα , |
|
|
x |
||
|
dt |
0 |
||
|
|
|
||
dx = v0 cosα, x = (v0 cosα)t + const , dt
так как при t = 0 тело имело координату x = 0, то const = 0. Уравнение движения по оси x имеет вид
|
|
x = (v0 cosα)t . |
(8) |
||
Аналогично найдем уравнение движения тела по оси y: |
|
||||
|
dvy |
= −g, v |
|
= −gt + const . |
|
|
|
y |
|
||
|
dt |
|
|
||
|
|
|
|
||
Используем начальное условие (5) для определения константы: v0 sinα = 0 + const . (9)
Окончательно, проекция скорости на ось y для любого момента времени определяется выражением
vy = −gt + v0 sinα . |
(10) |
25