Материал: Здоровцева Г.Г. Контролируемая самостоятельная работа студентов по курсу «Общая физика». Тема «Механика точки»

занной с ускоренно движущимся клином, необходимо еще ввести переносную силу инерции

Введем сразу две системы отсчета – абсолютную (инерциальную) с неподвижными осями Ox и

Oy, жестко связанными со столом и неинерциальную с осями O′x′ и

O′y′ жестко связанными с клином.

Для нахождения N и ускорения шайбы относительно клина a′ воспользуемся основным уравнением динамики относительного движения:

Здесь проекции ускорений сразу записаны как вторые производные по времени соответствующих координат.

Эти два уравнения содержат три неизвестных: a′x, a′y, N. Допол-

ним систему уравнением связи между проекциями ускорений. Его мы получим из очевидного соображения: пока шайба остается на поверхности клина, ее текущие координаты связаны через угол α соотношением

где l – длина горизонтального катета клина.

Дифференцируя (4) по времени дважды, получаем связь между проекциями ускорений

Система уравнений (2), (3), (5) позволяет найти все три неизвестные величины. Начнем с определения реакции опоры. Для этого из (2) и (3) выразим проекции ускорений и подставим их в уравнение связи (5):

41

Уравнение (6) содержит только одну неизвестную N. Находим ее:

N cosα + N sinα tgα = g + atgα ,

mm

Реакция опоры найдена.

Проекции ускорения шайбы на оси координат, связанные с клином, получим, подставляя (7) в уравнения (2) и (3):

Проекции относительного ускорения a′ найдены.

Для получения уравнения траектории шайбы в абсолютной (связанной с неподвижным столом) системе координат перейдем сначала от (8) и (9) к проекциям абсолютного ускорения. С этой целью воспользуемся теоремой о сложении ускорений

В условии данной задачи aперен – это заданное ускорение клина.

Перепишем (10) в проекциях на неподвижные оси координат Ox и Oy:

Решаем уравнение (11), чтобы найти зависимость координаты x от времени:

dx =[(gcosα + asinα)sinα]t + C1 , dt

42

из условия задачи начальная скорость шайбы равна нулю, поэтому С1 = 0,

Так как шайба начала движение из точки х = 0, то С2 = 0. Получаем

Кинематическое уравнение движения шайбы вдоль оси Ox в абсолютной системе отсчета найдено.

Аналогично работая с уравнением (12) найдем зависимость y(t):

dy = (gcos2 α + asinαcosα − g)t + C1, dt

при t = 0, dy = 0 , следовательно, С1 = 0 и dt

y= 1 (gcos2 α + asinαcosα − g)t2 + C2 , 2

при t = 0 шайба начала скольжение с вершины клина, т.е. имела координату y = h, тогда С2 = h и

Закон движения по оси Oy найден.

Для получения уравнения траектории надо исключить время из уравнений движения. Из (13)

43

Перепишем окончательно в виде

Уравнение траектории получено. В неподвижной системе координат – это прямая, которая начинается в точке y = h и идет вниз под некоторым углом β к поверхности стола. Тангенс этого угла равен коэффициенту при x в (16).

Заметим, кстати, что шайба действительно будет скользить вниз, как сказано в условии задачи, если ускорение клина будет не слишком велико, точнее, если a < g tgα .

Задача решена.

Задача 3.3. Небольшое тело поместили на вершину гладкого шара радиуса R. Затем шару сообщили в горизонтальном направле-

нии постоянное ускорение a0 и тело начало скользить вниз. Найти скорость тела относительно шара в момент отрыва.

Решение. Эта задача, по сути, не отличается от предыдущих – надо найти одну из кинематических характеристик материальной точки (ее скорость) в системе отсчета, которая движется ускоренно (шар) относительно неподвижной (стол), т.е. найти скорость в неинерциальной системе отсчета. Значит, будем пользоваться основным уравнением динамики относительного движения.

Отличие от предыдущих задач в том, что в этой неинерциальной системе задана траектория – дуга окружности. Поэтому при переходе от векторной записи уравнения динамики к скалярной целесообразно проектировать век-

44

Запишем основное уравнение динамики относительного движения для тела в системе отсчета, связанной с шаром

В той точке траектории, где в данный момент находится тело,

В момент отрыва прекращается взаимодействие тела с шаром, поэтому дополняем систему двух уравнений еще одним:

N = 0. (4) Трех уравнений (2), (3), (4) недостаточно, чтобы определить че-

тыре неизвестных – v, N , dv , α. Уменьшим число переменных в dt

этих уравнениях, учитывая, что угол α также меняется со временем. Проделаем цепочку преобразований, чтобы из тангенциального ускорения «убрать» время:

где s – длина дуги, на которую опирается угол α, выражаемый в радианах.

Перепишем уравнения (2) и (3) с учётом (4) и (5):

Решая (7), найдем v как функцию α:

1 vdv = (gsinα + a0 cosα)dα ,

R

1 v2 = −g cosα + a0 sinα + C . 2R

45