Материал: 01431
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых»
Ю. К. КОКУРИНА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ
Учебно-практическое пособие
В двух частях
Часть 2
Неопределённый интеграл. Определённый интеграл. Дифференциальные уравнения
Владимир 2015
1
УДК 51
ББК 22.11 К59
Рецензенты:
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии
Владимирского государственного университета имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых
Т. В. Прохорова
Кандидат экономических наук, доцент кафедры математики и информатики Владимирского филиала Финансового университета при Правительстве Российской Федерации
С. В. Никифорова
Печатается по решению редакционно-издательского совета ВлГУ
Кокурина, Ю. К.
К59 Высшая математика для студентов-заочников : учеб.- практ. пособие. В 2 ч. Ч. 2. Неопределённый интеграл. Определённый интеграл. Дифференциальные уравнения / Ю. К. Кокурина ; Владим. гос. ун-т им. А. Г. и Н. Г. Столетовых. ‒ Владимир :
Изд-во ВлГУ, 2015. – 60 с. ‒ ISBN 978-5-9984-0570-9 (ч. 2). ‒ ISBN 978-5-9984-0499-3.
При полном соответствии программе курса акцент сделан на сообщении студентам сведений, необходимых для практического применения при решении задач. Предполагается, что доказательства некоторых теорем и выводы части расчетных соотношений могут быть при необходимости разобраны по рекомендуемой литературе. Приведены необходимые графические иллюстрации и примеры решения типовых задач.
Предназначено для студентов различных специальностей заочной формы обучения ВлГУ.
Рекомендовано для формирования профессиональных компетенций в соответствии с ФГОС 3-го поколения.
Ил. 6. Табл. 1. Библиогр.: 5 назв.
|
|
УДК 51 |
|
|
ББК 22.11 |
ISBN 978-5-9984-0570-9 |
(ч. 2) |
© ВлГУ, 2015 |
ISBN 978-5-9984-0499-3 |
|
|
|
|
2 |
Введение
Изучение высшей математики имеет исключительно важное значение для всего процесса обучения в высшем учебном заведении. Значение высшей математики необходимо для успешного изучения общетеоретических и специальных дисциплин. Математические методы широко используются для решения самых разнообразных задач науки, производства и экономики. Значение этих методов существенно возрастает в связи с массовой информатизацией и компьютеризацией общества и всех отраслей промышленности.
Цель преподавания математики в вузе – ознакомить студентов с основами математического аппарата, необходимого для решения теоретических и практических задач; привить студентам умение самостоятельно изучать учебную литературу по математике и её приложения; развить логическое мышление и повысить общий уровень математической культуры; выработать навыки математического исследования прикладных вопросов и умение перевести задачу на математический язык.
В части 1 предлагаемого издания было представлено краткое изложение разделов математики «Элементы линейной и векторной алгебры», «Аналитическая геометрия», «Введение в математический анализ», «Дифференциальное исчисление функции одной переменной», «Функции нескольких переменных».
Часть 2 содержит следующие разделы: «Неопределённый интеграл», «Определённый интеграл», «Дифференциальные уравнения».
Математика – наука о пространственных формах и количественных отношениях в самом общем виде ‒ прошла большой путь развития одновременно с развитием цивилизации и стала неотъемлемой частью культуры человечества и показателем интеллектуального уровня общества. Помимо собственных потребностей развития математика обслуживает потребности многих других наук – естественных, технических, экономических, гуманитарных. С развитием вычислительной техники область использования математики расширяется.
3
В наше время трудно представить себе хорошего специалиста в различных областях, не знающего основных математических методов и математического языка. Поэтому математика включена в учебные планы почти всех специальностей и её изучению отводится немало времени.
Для успешного изучения математики необходимы программа, учебники и учебные пособия, справочная литература, таблицы, инженерный микрокалькулятор и, конечно, волевые усилия. Необходимо посещать все очные занятия в период сессий и стремиться самостоятельно выполнять контрольные работы, пользуясь руководствами к решению задач, методическими указаниями и конспектами практических занятий.
Предлагаемое издание должно помочь студенту-заочнику рационально организовать свой труд по изучению математики и выполнению контрольных работ. Необходимо обратить пристальное внимание на таблицу распределения задач по вариантам и в соответствии с ней выполнять работы.
Желаем Вам успеха.
4
Глава 1. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1.1. Определение. Таблица интегралов
Одной из задач предыдущей части курса было нахождение производной функции f(x) ‒ новой функции f`(x). Сформулируем обратную задачу – найти функцию F(x), производная которой ‒ заданная функция f(x).
Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на отрезке [a, b], если во всех точках этого отрезка выполняется равенство
F`(x) = f(x).
Первообразная функция определяется с точностью до произвольной постоянной: [F(x) + C]` = f(x). Если F(x) – первообразная функции f(x), то функциями вида F(x) + C исчерпываются все первообразные функции f(x).
Если функция F(х) – первообразная функции f(x), то выражение
F(x) + C называется неопределенным интегралом от функции f(x) и
обозначается
f(x)dx = F(x) + C, |
(1.1) |
где . f(x) – подынтегральная функция; f(x)dx – подынтегральное выражение; – знак интеграла.
Неопределенный интеграл представляет собой семейство функций, геометрически – семейство кривых, каждая из которых получается сдвигом одной из кривых вдоль оси Оу.
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то для этой функции существует первообразная (и неопределенный интеграл).
(Теорема существования).
Нахождение первообразной функции f(x) называется интегри-
рованием ее.
Отметим, что если производная элементарной функции также элементарная функция, то первообразная элементарной функции может оказаться и неэлементарной функцией.
Из определения первообразной следует:
1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. если
5