Документ: 01431, страницы 11-15 | База учебных материалов

0 A2 B,

A1 3B,

1

A A1 3A2 3B,

0

2 2 A 2 A 2 A

B, решая которую,

найдем А =

–1, А1

= 1/3,

1

2

А2 = – 2/9, В = 2/9.

В результате получим

x2 2

1

2

.

(x 1)3 (x 2)

(x 1)3

3(x 1)2

9(x 1)

9(x 2)

Чтобы вычислить интеграл от рациональной дроби, нужно, если дробь неправильная, представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби, а дробь разложить на сумму простейших.

Пример:

(x4

1)dx

(x

x 1

)dx xdx

(x 1)dx

x3 1

x3

1

(x

1)(x 2 x 1)

(x 1)dx

A

Bx C

Ax 2 Ax A Bx

2 Cx Bx C

(x 1)(x2

x

(x 1)(x 2

x 1)

1

x 2 x 1

x 1)

2

A

B 0

A B 0

3

2

A B C 1

3A 2

B

3

A

C 1

A

C 1

1

C

3

2

dx

1

(2x 1)dx

x 2

2

1

2 x 1) C.

xdx

ln | x 1 |

ln( x

x 1

x 2 x 1

3

2 3

3

1.4. Интегрирование тригонометрических функций

1. Интегралы вида sinmx cosnx dx

а) Если хотя бы один из показателей m и n – нечётное положительное число, используются подстановки sinx = t при нечётном n и cosx = t при нечетном m.

11

			Примеры:
) sin 2 x cos5							xdx [sin x t; cos xdx dt; cos 2											x 1 sin 2 x]
sin 2 x cos 4						x cos xdx sin 2 x(1 sin 2										x) 2 d sin x t 2 (1 t 2 ) 2 dt
(t 2 2t 4 t 6 )dt										t 3	2t 5			t 7	C	sin 3 x				2 sin 5 x			sin 7					x		C.
(t 2 2t 4 t 6 )dt															C															C.
								3			5		7			3			5					7
		sin 3 xdx									3							3
)							sin 3 x cos						xdx sin 2			x cos			x sin xdx
												2						2
																		2
	cos x			cos x
	cos x			cos x
								3									3		1		t	1					3

																						2			t		2
																						2			t		2
(1 cos 2 x) cos								2 xd cos x [cos x t]								(t	2 t 2 )dt												C
(1 cos 2 x) cos								2 xd cos x [cos x t]								(t	2 t 2 )dt					1				3			C
																						1				3
																						2		2
																						2		2

	2				2		cos3 x		C.
									C.
			cos x			3

б) Если оба показателя m и n – чётные положительные числа, подынтегральную функцию следует преобразовать с помощью извест-

ных соотношений: sin x cos x											1	sin 2x,		sin 2 x				1 cos 2x						,	cos2 x			1 cos 2x		.
ных соотношений: sin x cos x												sin 2x,		sin 2 x										,	cos2 x					.
								2												2									2
				Пример:
sin 4 x cos2 xdx								sin 2 x cos2 xsin 2 xdx								sin 2 2x						1 cos 2x					dx
sin 4 x cos2 xdx								sin 2 x cos2 xsin 2 xdx								4						2					dx
																4						2
		1	sin 2 2xdx				1	sin 2 2x cos 2xdx					1		1 cos 4x				dx				1		sin 2 2xd sin 2x
			sin 2 2xdx					sin 2 2x cos 2xdx											dx						sin 2 2xd sin 2x
	8			8				8								2						16
	1			dx	1	cos 4xdx			1	sin 2 2xd sin 2x							x				sin 4x					sin 3 2x			C.
				dx		cos 4xdx				sin 2 2xd sin 2x																			C.
	16			16				16								16						64					48

2. Интегралы вида tgmxdx и ctgmxdx, где m – целое положительное число, интегрируются с помощью соотношений tg2x = sec2x – 1 и ctg2x = cosec2x – 1, позволяющих последовательно понижать степень подынтегральной функции.

12

ln | cos x | C.

Пример:

tg5 xdx tg3 x(sec2 x 1)dx tg3 xd(tgx) tg3 xdx

tg3 xd(tgx) tgx(sec2 x 1)dx tg3 xd(tgx) tgxdtgx tgxdx

tg 4 x tg 2 x

4 2

3. Аналогично находятся интегралы вида tgmx secnx dx и ctgmx cosecnxdx, где n – целое положительное число.

Интегралы sin(mx) cos(nx) dx, cos(mx) cos(nx) dx, sin(mx) sin(nx) dx вычисляются с помощью формул sin cos = ½[sin( + ) + + sin( – )], cos cos = ½[cos( + ) + cos( – )], sin sin = = ½[cos( – ) – cos ( + )], позволяющих произведение тригонометрических функций представить в виде суммы.

4. Интегралы вида R(sinx, cosx)dx, где R – рациональная функ-

ция, вычисляются с помощью универсальной тригонометрической подстановки tg x/2 = t (х = 2arctgt). Переход к новой переменной в подынтегральном выражении осуществляется с помощью формул

2tg

x

1 tg 2

x

2t

1 t 2

2dt

sin x

2

; cos x

2

; dx

.

(1.26)

1 tg

2 x

1 t 2

1 tg

2 x

1 t 2

1

t 2

2

Пример:

2dt

dx

1 t 2

2

dt

1

C

4 sin x 3cos x 5

2t

1 t

2

2t

2

8t 8

(t 2)

2

t 2

4

3

5

t 2

1

1 t 2

1

C.

tg

x

2

Проинтегрируем с помощью тригонометрической подстановки

простейшую рациональную дробь четвёртого типа

dx

,

(x2 nx q)

где n2 4q 0 . Выделив в знаменателе полный квадрат, получим

13

dx

u

4q n2

и, обозначив

x

z,

p 2 , полу-

n

2

4q n

2

4

x

2

4

чим

dz

.

(z 2 p2 )

1.5. Интегрирование некоторых иррациональных функций

1. Интегралы вида R(x, (ax + b) m1/n1, (ax + b) m2/n2, …)dx, где

R – рациональная функция, а mi, ni, – целые числа, вычисляются с помощью подстановки ах + b = ts, где s – наименьшее общее кратное чисел ni.

Пример:

dx

n1

3; n2

2; s 6

3t 5dt

t 2 dt

t 6 1

2x 1 t 6 ; x

; dx 3t 5dt

3

2

1

t 4 t 3

t 1

(2x 1) 3 (2x 1) 2

2

3 (t 1

1

)dt

3

t 2 3t 3ln | t 1 | C,

t 1

2

где t 6

2x 1.

2. Интегралы вида

dx

сводятся к табличным выде-

ax2 bx c

лением полного квадрата в подкоренном выражении.

Пример:

dx

1

dx

1

d(x 1)

1

ln | x x2 2x 5 | C.

2

4x2 8x 20

x2 2x 5

(x 1)2 4

3.

Интегралы вида

Ax B

dx вычисляются с помощью

ax2 bx c

известного уже приема – в числителе выделяют производную подкоренного выражения и интеграл представляют в виде суммы более простых интегралов.

14

Пример:

3

( 2x 6) 13

(3x 4)dx

2

dx [d ( x

6x 8) ( 2x 6)dx]

dx

x2 6x 8

3

d ( x2 6x 8)

d (x 3)

13

3

x2 6x 8 13 arcsin( x 3) C.

2

x2 6x 8

1 (x 3)2

4. Интеграл

вида

dx

с помощью

подстановки

(x

) ax2 bx c

х – = 1/t сводится к интегралу, рассмотренному ранее.

Пример:

dt

dx

1

dt

t

2

[x 1

; x

1;dx

]

(x 1)

t

t2

1

x2 3x 3

1

2

1

(

1)

3(

1)

3

t

dt

1

t2 t 1 | C

ln | t

2

t2 t 1

(t

1

)

2

3

2

4

ln |

1

x2

3x 3

| C.

x 1

2

5.

Интегралы

вида

R(x, x 2

a 2 )dx,

R(x,

a 2 x 2 )dx,

R(x, a 2 x 2 )dx приводятся к интегралам от рациональных отно-

сительно sint (cost) функций с помощью надлежащей тригонометрической подстановки: для первого х =а sect (х = а cosect), для второго

х = а sint (х = а cost) и для третьего х = а tgt (x = a ctgt).

Пример:

dx

[x

atgt; dx

adt

]

adt

cos 2 t

x

a 2 x 2

cos 2 tatgt

a 2 a 2tg 2t

1

dt

1

dt

1

sin tdt

1

d cos t

1

a

cos

2

t

sin t

1

a

sin t

a

sin 2 t

a

cos 2 t 1

2a

cos t cos t

[tgt

x

; cos t

a

]

1

ln

|

a

x 2 a

2

| C

1

ln |

a

2a

a

x 2 a 2

a

x 2 a 2


ln \|		cos t 1		\| C
ln \|		cos t 1		\| C
		cos t 1

	a		x 2 a 2
					\| C.
			x		\| C.
			x

15

Материал: 01431

Смотрите также: