Материал: 01431

u ln x 3x2 ln x ,

du

3x2 , du 3x2dx C , u x3 C .

dx

Следовательно,

y ( x3 C )ln x ‒ общее решение данного урав-

нения.

Пример 15. Найти частное решение уравнения

y 4y 3y 0 ,

10 .

удовлетворяющее начальным условиям: y(0) 6, y (0)

Его характеристическое уравнение k 2 k 2 0 имеет корни

k 2 ,

1

k

2

1. Тогда

y

одн

C e2x C

2

e x .

1

корнем характеристического уравнения, y есть многочлен

второй

степени, т. е.

Ax2

Bx C . Отсюда находим

2Ax B ,

2A

y

y

y

и, подставляя

,

,

в данное уравнение, получаем тождество

y

y

y

2A 6,

2 A 2B 0,

2A B 2C 0,

из которой находим А = − 3, В = − 3, С = − 4,5.

Следовательно,

3x2 3x 4,5 ,

и искомым общим решением

y

данного неоднородного уравнения является y C e 2x C

2

ex 3x2

3x 4,5.

1

Пример 17.

Найти частное

решение уравнения y 2y y

9e 2x 2x 4 ,

удовлетворяющее начальным условиям

y(0) 1,

1.

y (0)

Решение

Характеристическое уравнение k 2 2k 1 0 имеет равные кор-

ни k

k

2

1, поэтому

y

одн

C e x

C

2

xe x .

1

1

Правая часть данного уравнения есть сумма показательной

функции

9e 2x и

многочлена первой степени 2х – 4 . Так как числа

−2 и 0 не являются корнями характеристического уравнения, то

Ae 2x Bx C .

y

2Ae 2x B ,

4Ae 2x

Подставляя

y ,

y

y

в данное урав-

нение, имеем

9A 9,

B 2,

2B C 4,

откуда А = 1, В = 2, С = 0.

Следовательно,

e2x 2x , и общим решением данного урав-

y

нения является функция y C e x C

2

xe x e 2x 2x .

1

Используя начальные условия, определим значения постоянных

С1 и С2 . Так как y( 0 ) 1, то С1+1=1, С1=0.

Находим производную

y C1e x C2e x C2 xe x 2e 2x 2 .

4.2. Задачи для контрольной работы

В задачах 1 ‒ 20 найти неопределённые интегралы способом

подстановки (методом замены переменной).

1.

8.

x

15.

x3

cosx sin xdx.

dx .

dx.

1 2x2

8x4 1

2.

( lnx)3

dx

9.

x

dx .

16.

x

dx .

.

x

2x4 5

2x2 3

3.

arctgx

dx .

10.

dx

.

17.

arcsin2 x

dx

.

1 x2

x ln x

1 x2

4.

cos x

11.

sin x

18.

dx .

dx .

arctg x

dx .

3

2

sin x

cos

x

1 x2

e

x2

xdx.

12.

x2

dx .

19.

ln x 3

dx .

5.

x

2x3

3

6.

x

13.

20.

dx .

5x 4 3 x3dx .

1 2x 2 xdx .

2 x4

7.

dx

14.

x

2

x

3 1

lnx

.

e

dx.

x

В задачах 21 ‒ 40 найти неопределённые интегралы, используя

выделение полного квадрата.

21.

4x 1

dx .

28.

3x 7

dx .

35.

5x 16

dx .

x2 4х

x2

x2

2х 17

8

8х 17

22.

5x 8

dx .

29.

5x 2

dx .

36.

3x 11

dx .

x2 2х

x2

x2

5

2х 5

8х

20

23.

3x 2

dx .

30.

7x 3

dx .

37.

17 x 5

dx.

x2 4х

8

x2

6х 13

x2

12х 40

24.

8x 3

dx.

31.

8x 7

dx .

38.

12x 7

dx .

x2 6х

x2 10х

10

29

x2 16х 65

25.

7x 3

dx .

32.

11x 3

dx .

39.

8x 7

dx .

x2 4х

x2

x2

5

6х 13

2х 17

26.

9x 10

dx .

33.

10x 7

dx .

40.

17 x 3

dx.

x2 6х

x2 8х

10

x2 8х 20

32

27.

3x 10

dx.

34.

3x 11

dx.

x2 8х

10

x2 16х

68

В задачах 41 ‒ 60 найти неопределённые интегралы, применяя

метод интегрирования по частям.

41.

lnxdx.

48.

(x 3)e 2xdx .

55.

x sin 8xdx.

42.

(2x 1) sin 3xdx.

49.

56.

arccosx dx .

х ln3 xdx.

43.

(x 1)e2xdx .

50.

(2x 8)e 7 xdx.

57.

arcsin 2xdx .

44.

xcos2x dx .

51.

x3lnxdx .

58.

(2x 1)cos3x dx .

45.

arctg2x dx .

52.

(3x 7)cos5x dx.

59.

(8x 10) sin 7xdx.

46.

(5x 1)lnxdx.

53.

(12x 2) sin 3xdx .

60.

ln8 xdx.

47.

(8x 2) sin 5xdx.

54.

3

х ln2 xdx.

В задачах 61 ‒ 80 найти неопределённые интегралы, пользуясь

разложением рациональных дробей на сумму простейших.

61.

x

68.

5x 11

dx .

75.

x

dx .

dx .

x3 1

x(х2 4)

(х 5)(x2

3)

62.

x 20

dx .

69.

3x

dx.. 76.

x 1

dx .

(х 1)(x2

(х 1)(x2

x3 8х

3)

4)

81.

sin 3 2x cos5 2xdx.

88.

sin 2 3x cos7 3xdx.

95.

sin 2 8x cos3 8xdx.

82.

sin 3 3x cos3 3xdx.

89.

sin 5 3x cos4 3xdx.

96.

sin 2 6x cos5 6xdx.

83.

sin 3 2x cos 4 2xdx .

90.

sin 6 3x cos3 3xdx.

97.

sin 3 2x cos6 2xdx

84.

sin 5 2x cos 2 2xdx .

91.

sin 5 3x cos2 3xdx.

98.

sin 3 7x cos2 7xdx.

85.

sin 5 3x cos3 3xdx.

92.

sin 4 2x cos3 2xdx.

99.

sin 3 7x cos3 7xdx.