Материал: 07 - презентация
Пример 3. Разложить в ряд Маклорена функцию:
1( ) = 2−3 +2.
Разложим дробь на сумму простейших дробей, и к каждой из них применим табличное разложение в ряд Маклорена:
1 |
|
= |
|
|
1 |
= |
|
|
1 |
− |
1 |
= |
1 |
|
− |
1 |
= |
1 |
− |
1 |
∙ |
1 |
|
= |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2−3 +2 |
( −1)( −2) |
|
−2 |
−1 |
1− |
|
2− |
1− |
2 |
1− |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
= ∑∞=0 − |
1 |
∙ ∑∞=0 |
|
|
= |
∑∞=0 (1 − |
|
|
1 |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Для нахождения области сходимости решим систему неравенств:
−1 < < 1 |
−1 < < 1 |
|
|||
|
|
|
|
||
{−1 < |
|
< 1 {−2 < < 2 |
−1 < < 1. |
||
2 |
|||||
|
|
|
|
||
Пример 4. Разложить в ряд Тейлора функцию |
|
||||||
( |
) |
= ln( |
2 |
+ 5 + 6) в окрестности точки ( 0 |
= −1), т.е. по |
||
|
|
|
|||||
степеням ( + 1). |
|
|
|
||||
Сделаем |
замену: |
+ 1 = |
и, пользуясь свойствами |
||||
логарифмической |
функции, |
выполним |
тождественные |
||||
преобразования: |
|
|
|
||||
( ) = (( − 1)2 + 5( − 1) + 6) = ln( 2 + 3 + 2) = = ln(( + 1)( + 2)) = ln( + 1) + ln( + 2) =
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
+ ∑∞=1(−1) −1 |
∙ |
|
+ ∑∞=1(−1) −1 |
∙ |
|
= |
||||
|
2 ∙ |
||||||||||
= 2 |
+ ∑∞=1 |
(−1)−1 |
∙ (1 + |
1 |
) . |
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|||||||
Вернемся к исходной переменной:
( ) = 2 + ∑∞=1 |
(−1)−1 |
1 |
) ( + 1) . |
||||
|
∙ (1 + |
|
|||||
|
2 |
||||||
|
−1 < < 1 |
|
|
||||
Область сходимости: {−1 < |
|
< 1 |
|
−1 < < 1 −1 < + |
|||
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
||
1 < 1 −2 < < 0.
Пример 5. Разложить в ряд Тейлора функцию ( ) = ( + 2) ∙ 3 в окрестности точки ( 0 = −2), т.е. по степеням ( + 2).
Сделаем замену: + 2 = , = − 2:
( ) |
|
−2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
= ∙ 3 |
|
= |
9 |
∙ 3 = |
9 |
∙ |
|
|
= |
||||||||
= |
1 |
∙ 3 |
= |
1 |
∙ ∑=0∞ |
|
|
3. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
9 |
|
! |
|
|
|
||||||||||||
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вернемся к исходной переменной:
( |
) |
|
∑∞ |
3 |
+1 |
|
|
|
= |
=0 |
|
|
( + 2) . |
|
9 ! |
|||||
|
|
|
|
|
||
Область сходимости: (−∞, +∞).
Пример 6. Разложить функцию = sin2 в ряд Маклорена.
Воспользуемся тригонометрическим тождеством:
sin2 = 12 (1 − cos2 ) ,
а затем табличным разложением функции cos , заменяя переменную на переменную 2 :
sin2 = |
1 |
|
− |
1 |
(1 − |
(2 )2 |
+ |
|
(2 )4 |
|||
2 |
|
2! |
4! |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
2 2 |
|
23 |
|
4 |
|
|
|
+1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
= 2! − |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4! + + −1 |
|
|
|||||||||
(−∞, +∞).
− + (−1) (2 )2 + ) =
(2 )!
22 −1 2 + ,
(2 )!