Материал: 07 - презентация

(4)( )

2∙3

= − (1+ )4 , ′′′(0) = 3!

…

( )( )

−1

( −1)!

( )

−1

(

)

= (−1)

(1+ )

,

(0) = (−1)

∙

− 1 !

(

)

2

3

∑∞

−1

ln 1 +

= −

2

+

3

− =

=1(−1)

∙

.

( )

5).

= (1 + ) .

( −1)

2

(−1)…(− +1)

(1 + )

= 1 + +

+ +

+ ,

2!

!

(−1,1).

6). Последнее разложение при = −1 принимает вид:

1

= 1 − + 2

− 3 + = ∑=0∞

(−1) ∙ , (−1,1).

1+

7). При замене на – получим еще одно разложение

1

= 1 + + 2

+ 3 + = ∑=0∞

, (−1,1).

1−

8). При

разложении

гиперболических

функций используем

1 (

−)

1 (

−)

формулы: sh =

2

−

, ch =

2

+

и разложения

функций и − в ряд Маклорена:

sh = +

3

+

5

+ = ∑=0∞

2 +1

, (−∞, +∞),

3!

5!

(2 +1)!

ch = 1 +

2

+

4

+ = ∑=0∞

2

, (−∞, +∞).

2!

4!

(2)!

( )

=

2

( 0 = 0) .

3−

Преобразуем функцию:

2

=

2

∙

1

и воспользуемся табличным

3−

3

1−

3

разложением 7), заменяя переменную на

:

3

( )

2

1

2

∑∞

∑∞

2

=

∙

=

∙

=0

=

=0

+1

.

3

1−

3

3

3

3

Пример

2.

Разложить

в

ряд Тейлора в

окрестности точки

( )

=

2

.

( 0 = 1) функцию:

3−

Сделаем замену: = − 1

= + 1:

( )

2

2

= 3−( +1) =

2−

и разложим

эту

функцию в

окрестности

точки ( = 0):

( )

2

1

∑∞

( )

∑∞

( −1)

=

=

=

=

.

=0

,

=0

2−

2

2

1−2

Область сходимости: −1 <

< 1

−2 < < 2

−2 < −

2