Материал: 1155

p 2

f=1

f=4

Рис. 3.2. 2-распределение для различных f

p F

10,

1,0 10,50

p t

0,4

f =

f = 5

f = 1

0,1

Рис. 3.4. Кривые плотности t-распределения

38

3. Распределение Фишера (F-распределение).

Рассмотрим случайную величину

Кривые плотности F-распределения для различных f1 и f2 представлены на рис. 3.3. Согласно (3.12), среднее значение F f2 / f2 2 , если f2 2.

4. Распределение Стьюдента (t-распределение).

Случайная величина

t u/ 2f t , (3.13)

где u и 2 определяются согласно (3.9), (3.10), имеет распределение Стьюдента

которое может быть получено непосредственно из (3.12) преобразованием t F1, f , где t-распределение симметрично относительно нуля. При f распределение стремится к нормальному с парамет-

рами (0,1) (рис. 3.4).

3.3. Выборка и ее характеристики

Полный набор всех возможных значений, которые может принимать случайная величина в ходе эксперимента, называется генеральной совокупностью. Она может быть конечной и реально существующей или бесконечной, гипотетической. Генеральная совокупность

39

обладает некоторыми неслучайными свойствами, которые могут быть выявлены в результате эксперимента.

Рассмотренные функции распределения p x описывают поведение генеральной совокупности. Однако реальное число n наблюдений физической величины всегда ограничено, поэтому результаты наблюдений допустимо считать величинами дискретными. Некоторый набор значений случайной величины x1,x2,x3, ,xn называют выбор-

кой. Число полученных экспериментальных результатов n называется объемом выборки. Основная задача математической статистики заключается в том, чтобы по результатам эксперимента (по данным выборки) высказать обоснованное суждение о свойствах генеральной совокупности.

Выборка должна достаточно полно характеризовать генеральную совокупность, т.е. она должна быть представительной. Чтобы обеспечить представительность выборки, необходимо выполнить два важных условия: во-первых, все элементы генеральной совокупности должны появляться в выборке с одинаковой вероятностью; вовторых, наблюдения должны быть независимыми, т.е. появление каждого из элементов выборки не должно влиять на вероятность появления других элементов. Так как элементы выборки случайные, все заключения и результаты, полученные на основе выборочных данных, носят вероятностный характер.

Выборка содержит лишь часть генеральной совокупности, по которой можно попытаться оценить числовые характеристики всей генеральной совокупности. Существует два типа оценок – точечные и интервальные.

Под точечной оценкой понимается отдельное число, которое используется в качестве оценки параметра генеральной совокупности. Например, выборочное среднее

есть точечная оценка математического ожидания m1, точечная оценка дисперсии

Возможны различные оценки одной и той же числовой характеристики, например, для математического ожидания оценками могут служить выборочное среднее, выборочная медиана и т.п. Чтобы оце-

40

нить качество оценки в статистическом анализе, рассматриваются четыре критерия:

несмещенность. Оценка называется несмещенной, если все выборочные значения располагаются симметрично относительно истинного значения оцениваемого параметра. Согласно центральной предельной теореме, распределение выборочных средних является нормальным, а значит, симметричным;

эффективность. Эффективная оценка обладает наименьшей дисперсией по сравнению с другими оценками данной числовой характеристики. Относительно выборочного среднего дисперсия и СКО обладают свойствами минимальности;

состоятельность. Говорят, что оценка истинного значения параметра является состоятельной, если по мере увеличения объема выборки ее значение приближается к истинному значению параметра;

достаточность. Оценка является достаточной, если при ее вычислении используется вся содержащаяся в выборке информация.

Таким образом, выборочное среднее является наилучшей оценкой математического ожидания, так как она удовлетворяет всем четырем критериям.

В качестве интервальной оценки используют доверительный интервал. Доверительный интервал – это отрезок, центром которого является точечная оценка числовой характеристики, включающий истинное значение данной числовой характеристики с заданной вероятностью. Эта вероятность называется доверительной вероятностью. Таким образом, интервал является мерой точности оценки, а доверительная вероятность характеризует достоверность оценки. Размер доверительного интервала зависит от того, каким значением доверительной вероятности задался экспериментатор. Чем выше доверительная вероятность, тем шире должен быть интервал, чтобы с заданной вероятностью включать в себя истинное значение числовой характеристики. Часто выбирают значение доверительной вероятности P=0,95, только иногда, в случае ответственных и очень ответственных исследований, полагают P=0,99 и 0,999 соответственно.

Процедура построения доверительного интервала включает в себя два этапа:

записывается вероятностное утверждение относительно некоторой случайной функции, включающей в себя разность или отношение оценки числовой характеристики и ее истинного значения. Такая

41

функция несет информацию о степени близости этих величин. Необходимо, чтобы закон распределения этой функции был известен;

вероятностное утверждение преобразуется к виду, при котором границы доверительного интервала числовой характеристики представлены в явном виде.

Построим доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии. Вероятностная функция в этом случае имеет вид

и распределена нормально. Для построения доверительного интервала можно использовать соответствующую таблицу нормального распределения для определения значения t , такого, что за пределами –t и +t остается часть площади, равная , тогда как в пределах [–t ,+t ] заключена часть площади, равная 1– (рис. 3.5).

p t

Площадь 1

Рис. 3.5. Кривая нормального распределения

Следовательно, можно записать следующее вероятностное утверждение:

42