Материал: 1155

рандомизация опытов;

реализация плана эксперимента;

проверка однородности дисперсий параллельных опытов, воспроизводимости результатов;

расчет коэффициентов уравнения регрессии, их ошибок и значимости;

проверка адекватности модели.

6.1.2. Кодирование факторов

Кодирование – это перевод натуральных значений уровней факторов в кодовые безразмерные величины с целью построения стандартной матрицы эксперимента.

Для факторов с непрерывной областью определения кодирование осуществляют по формуле

значение u-го фактора; xu0 – начальный (нулевой) уровень фактора;xu – интервал варьирования u-го фактора.

После кодирования уровни факторов принимают значения: +1 – верхний уровень; –1 – нижний уровень; 0 – нулевой уровень. В качестве нулевого уровня принимают центр интервала, в котором предполагается проводить эксперимент. Например, результат кодирования двух факторов x1 и x2можно представить табл. 6.2.

73

Рис. 6.1. Кодирование факторов

На рис. 6.1 представлено факторное пространство и уровни факторов до кодирования (а) и после кодирования (б).

6.1.3. Матрицы планирования эксперимента

Условия эксперимента обычно записывают в виде матриц планирования эксперимента (табл. 6.3), где строки соответствуют различным независимым опытам, а столбцы – значениям (уровням) факторов. На рис. 6.2 представлена геометрическая интерпретация ПФЭ.

В общем случае планы типа 2k геометрически представляют собой совокупность точек, расположенных в вершинах гиперкуба, размещенного в многомерном пространстве. Пространство, заключенное внутри гиперкуба, является областью планирования эксперимента.

Существует несколько способов построения матрицы планирования большой размерности. Один из них основан на чередовании знаков: в первом столбце знаки меняются поочередно, во втором – через два, в третьем – через четыре и т.д.

74

Рис. 6.2. Геометрическая интерпретация ПФЭ:

а– в двухмерном пространстве (N=22); б – в трехмерном пространстве (N=23)

Втабл. 6.4 представлены матрицы ПФЭ (22;23;24), построенные по данному способу. Вместо единиц с соответствующими знаками указаны только знаки. Такое обозначение возможно для ПФЭ, построенного на двух уровнях факторов.

ПФЭ относится к числу планов, которые являются наиболее эффективными при построении линейных моделей. Эффективность достигается за счет следующих свойств:

75

симметричности относительно центра эксперимента. Алгебраическая сумма значений каждого из столбцов матрицы равна нулю:

где u=1,2,3, …,k – номер фактора; i – номер опыта; N – число опытов;условия нормировки. Сумма квадратов элементов каждого

столбца матрицы равна числу опытов:

N

Xui2 N . (6.7)

i 1

Это является следствием того, что значения факторов в матрице задаются равными +1 и –1;

ортогональности. Сумма почленных произведений двух столбцов матрицы равна нулю:

ротатабельности. Экспериментальные точки в матрице планирования располагаются так, что точность предсказания параметра оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра плана и не зависит от направления.

6.1.4. Рандомизация опытов

Чтобы исключить влияние систематических погрешностей, вызванных внешними условиями, применяется метод рандомизации (random – случайный), который основан на принципе перевода систематических погрешностей в случайные. Уменьшение систематической погрешности достигается при изменении случайным образом методики и условий проведения опытов.

Например, если в плане эксперимента 23 предполагается каждое значение параметра оптимизации y определить по двум параллельным опытам, то всего необходимо 16 опытов. Для определения порядка проведения опытов можно воспользоваться таблицей случайных чисел (прил. 7). Выбранную случайным образом последовательность опытов не рекомендуется нарушать.

6.1.5. Проведение эксперимента

При проведении эксперимента для каждого принятого сочетания факторов измеряют значения параметра оптимизации. Следует учи-

76

тывать, что результаты каждого опыта являются случайными величинами из-за погрешности измерений значений факторов, самого параметра оптимизации, влияния неучтенных факторов. Поэтому если воспроизвести несколько раз опыт при одних и тех же значениях факторов, то каждый раз значение параметра оптимизации будет разным. Обычно стараются при каждом сочетании значений факторов (в каждой точке) провести несколько повторных опытов, которые называются параллельными (дублированными). Дублирование позволяет проверить воспроизводимость эксперимента.

6.1.6. Проверка однородности дисперсии параллельных опытов, воспроизводимости эксперимента

Проверка однородности дисперсии параллельных опытов проводится с целью подтверждения нормального закона распределения ошибок отдельных опытов. В противном случае нельзя приступить к регрессионному анализу – расчету коэффициентов регрессии, проверке их значимости и проверке адекватности математической модели экспериментальных данных.

Проверку однородности при одинаковом числе параллельных опытов проводят с помощью критерия Кохрена (G-критерий). Проверка состоит в следующем:

определяют дисперсию параллельных опытов

i 1

определяют числа степеней свободы d.f1 r 1 и d.f2 N;

выбирают уровень значимости;

находят по таблицам критическое отклонение GT (прил. 6);

сравнивают величины G и GT . Если G GТ , то дисперсия однородна.

77