Материал: 1155

Погрешность округления погрешности в первом случае составляет

1,4%, во втором – 8,2%.

Существуют следующие правила округления результатов и погрешностей измерений:

1.Результат измерения округляется до того же десятичного знака, которым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности. Лишние цифры в целых числах заменяются нулями. Если десятичная дробь в числовом значении результата измерения оканчивается нулями, то нули отбрасываются до того разряда, который соответствует разряду числового значения погрешности. Например, результат 4,08000, погрешность 0,003; результат округляют до 4,080.

2.Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов меньше 5, то остальные цифры числа не изменяются. Лишние цифры в целых числах заменяются нулями, в десятичных дробях отбрасываются. Например, число 174437 при сохранении четырех значащих цифр должно быть округлено до 174400, число 174,437 – до 174,4.

3.Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов больше или равна 5 и за ней следуют отличные от нуля цифры, то последнюю сохраненную цифру увеличивают на единицу. Например, при сохранении трех значащих цифр число 12567 округляют до 12600, число

12,567 – до 12,6.

4.Если отбрасываемая цифра 5, а следующие за ней цифры неизвестны или нули, то последнюю сохраняемую цифру не изменяют, если она четная, и увеличивают на единицу, если она нечетная. Например, число 232,5 при сохранении трех значащих цифр округляют до 232, а число 233,5 – до 234.

5.Погрешность результата измерения указывается двумя значащими цифрами, если первая из них равна 1 или 2, и одной значащей цифрой, если первая цифра равна 3 и более.

6.Округление производят лишь в окончательном ответе, а все предварительные вычисления проводят с одним или двумя лишними знаками.

Предельная погрешность, обусловленная округлением, равна половине единицы последнего разряда числового значения результата измерения.

33

Вопросы для самоподготовки

1.Дайте определение физической величины.

2.Перечислите основные типы физических величин. Дайте характеристику каждому типу.

3.Перечислите методы измерений. Дайте характеристику каждому методу.

4.Что называют погрешностью измерений?

5.Классификация погрешностей по форме количественного выражения.

6.Классификация погрешностей по характеру их поведения во времени.

7.Классификация погрешностей по причине возникновения.

8.Математическая модель результата измерения.

9.Математическая модель погрешности измерения.

10.Особенности аддитивной и мультипликативной составляющих погрешности измерения.

11.Как правильно должен быть представлен результат измере-

ний?

12.Сформулируйте правила округления числовых значений результата измерения.

34

3. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

3.1. Случайные величины и их характеристики

Ввиду того, что результат измерения в общем случае является случайной величиной, его описывают и оценивают с помощью аппарата теории вероятностей и математической статистики. Наиболее общей характеристикой случайной величины является закон ее распределения.

Пусть случайная величина X принимает значения x1,x2, ,xi, ,xn . Отношение числа опытов m, при проведении которых случайная величина X приняла значения xi , к общему числу опы-

тов n называется частотой повторения события. Частота mn является случайной величиной и изменяется в зависимости от числа проведенных опытов. При большом числе опытов она имеет тенденцию стабилизироваться около некоторого значения Pi, называемого вероятностью события. Сумма вероятностей всех возможных значений дискретной случайной величины равна единице, так как вероятность того, что случайная величина в результате опыта примет одно из своих значений, есть достоверное событие.

Вероятность события X xi

называется функцией распределения случайной величины. Плотностью распределения вероятностей случайной величины

X называется функция

Описание случайных величин с помощью законов распределения p x является наиболее полным, но экспериментальное определение этих законов требует весьма больших затрат времени. Однако во многих практических случаях нет необходимости описывать случайную величину полностью, достаточно охарактеризовать числами лишь отдельные ее свойства. Такие числовые характеристики в теории веро-

35

ятностей и математической статистике называют моментами. Наиболее часто при анализе законов распределения p x используются моменты 1-го и 2-го порядков.

Начальный момент 1-го порядка (математическое ожидание случайной величины) характеризует центр распределения p x и определяется выражением

Центральный момент 2-го порядка (дисперсия случайной величины) характеризует рассеяние случайной величины и вычисляется как

Так как дисперсия имеет размерность квадрата случайной вели-

чины, то обычно используется среднее квадратическое отклонение

(СКО) D , имеющее размерность случайной величины.

3.2.Законы распределения случайных величин

Втеории планирования эксперимента важную роль играют следующие законы распределения.

1. Нормальный закон распределения случайной величины.

Случайная величина X распределена по нормальному закону (или закону Гаусса), если ее плотность вероятности имеет вид

ставлена на рис. 3.1. Произведенное преобразование сохраняет нормальный закон распределения, но приводит его к частному виду, соответствующему случаю m1 0 и 1. Говорят, что плотность нормального распределения p t является нормированной [площадь под

36

кривой p t равна единице], центрированной (максимум находится при t 0), стандартизованной ( 1).

p t

0,3

Рис. 3.1. Кривая плотности нормального распределения

2. Распределение Пирсона ( 2 - распределение).

Рассмотрим n независимых случайных величин u1, ,un , каждая из которых распределена нормально с параметрами (0,1). Сумма квадратов этих случайных величин называется 2f - суммой:

пределение переходит в нормальное.

37