Материал: 1284

45

странством или пространством состояний. Эта точка называется изображающей. Изменению состояния системы отвечает некоторое движение изображающей точки в этом пространстве. Путь изображающей точки при этом есть интегральная кривая системы. Эта кривая носит название фазовой траектории.

При построении фазового пространства добиваются взаимно однозначного и непрерывного соответствия между состояниями системы и точками фазового пространства, т.е. каждому состоянию системы должна соответствовать одна и только одна точка фазового пространства, а каждой точке фазового пространства – одно и только одно состояние системы. При этом близким состояниям системы должны соответствовать близкие точки фазового пространства. В силу этих требований фазовое пространство не всегда может быть обычным евклидовым m-мерным пространством.

Пример двойственности динамических моделей. Рассмотрим физиче-

ский маятник, состояние которого характеризуется угловой скоростью S и углом отклонения от состояния устойчивого равновесия. Уравнение движения маятника при отсутствии сопротивлений dS/dt = –a sin ; d/dt = S, где a = const определяется конструкцией маятника. Фазовое пространство в данном случае двумерно. Если принять, что оно является плоскостью, на которой осии S – соответственно оси абсцисс и ординат, то состояние системы с одинаковыми угловыми скоростями S и со значениями = + 2 – при произвольном и сколь угодно малом будут сколь угодно близки. Однако соответствующие им точки плоскости будут отстоять одна от другой на расстоянии 2 – , которое при 0 не стремится к нулю. При таком выборе фазового пространства нарушены как требование взаимной однозначности, так и требование непрерывности соответствия состояния системы точкам фазового пространства. Чтобы удовлетворить этим требованиям, необходимо взять за фазовое пространство цилиндрическую поверхность с осью S, направленной по образующей, и с угловой координатой .

Приведенные выше уравнения для малых колебаний маятника (рисунок 2.26, а) преобразуются в дифференциальное уравнение второго порядка

a d 2 0 , dt 2

где а – постоянный множитель.

Аналогично анализ процессов в электрическом колебательном контуре (рисунок 2.26, б) сводится к исследованию дифференциального уравнения

где q – мгновенное значение заряда на обкладках конденсатора. Из последнего уравнения можно получить все сведения об исследуемом процессе, например, период электрических колебаний

T 2 LC .

46

Из сравнения дифференциальных уравнений маятника и контура следует, что они по существу одинаковы. Таким образом, совершенно разные явления могут описываться моделями в виде дифференциальных уравнений одного и того же вида, а именно – дифференциальными уравнениями второго порядка

Здесь y – обобщенная координата, определяющая состояние движения системы; a0, a1, a2 – коэффициенты, зависящие от параметров системы. В случае маятника обобщенной координатой является угол отклонения от вертикали, в случае колебательного контура – заряд конденсатора.

m

а – маятник; б – электрический контур

Рису нок 2.26 – Простейшие динамические объекты

Пример динамической модели. На рисунке 2.27 представлена динамическая модель подсистемы РЭС. Требуется с помощью этой модели оценить характер изменения напряжения на емкости С1 и тока индуктивности L1 в результате замыкания ключа S1.

Определение начальных условий. В нулевой момент времени (t = 0) ключ в схеме разомкнут. Ток в ветви R1C1 не протекает, емкость С1 заряжена

до напряжения источника питания V1, т.е. UC(0) = 100 В. Ток индуктивности

в начальный момент времени равен IL(0) = V1/R2 = 5А.

Составление систем уравнений, описывающих поведение схемы. Уравнение равновесия: IR1 + IR2 – IC – IL = 0.

V1 U R2 U L 0;

Уравнения непрерывности: U R1 U R2 0;U C U L 0.

47

Рисунок 2.27 – Динамическая модель подсистемы РЭС

После преобразования получаем математическое описание динамической модели подсистемы РЭС:

Результаты моделирования в программе MathCAD 2001 [10] представлены на рисунке 2.28. После замыкания ключа напряжение на емкости мгновенно падает до 50 В, затем по экспоненциальному закону снижается до нуля (разряд емкости). Ток индуктивности по экспоненциальному закону возрастает с 5 до 10 В. Время переходного процесса составляет около 0.05 с.

49

Линейные и нелинейные модели. Линейность или нелинейность анализируемого процесса оказывает решающее влияние на вид модели, метод программирования и быстродействие программы при ее выполнении на ЭВМ. Благодаря быстродействию и простоте линейные модели широко применяются разработчиками, хотя большинство природных и промышленных процессов – нелинейно. Примером линейной модели является зависимость между напряжением и силой тока в электрической цепи, хотя это справедливо в ограниченном диапазоне токов и напряжений.

Линейность или нелинейность по отношению к входным сигналам – это не то же самое, что линейность или нелинейность выходных переменных (функций) по параметрам. Оператор А и задаваемая им модель называются линейными, если для системы справедлив принцип суперпозиции. Он состоит в том, что линейной комбинации произвольных входных сигналов ставится в соответствие та же линейная комбинация сигналов на выходе из системы:

Математическую модель с использованием линейного оператора можно представить в виде = АХ.

Нелинейные уравнения, в свою очередь, можно разделить на два подкласса: алгебраические (в которых над переменными производятся только действия сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с рациональным показателем) и трансцендентные, в которые входят другие функции от переменных (показательные, тригонометрические и др.). В любом случае сложность модели существенно зависит от числа уравнений и от вида входящих в них функций. Обычно наиболее просто решаются алгебраические уравнения 1-й степени (линейные), наиболее сложно – трансцендентные.

В математических моделях часто используется ряд нелинейных математических структур, в первую очередь, это степенные полиномы. Методы интерполяции дают возможность существенно упростить способы расчета коэффициентов степенного полинома при наличии точных данных о входных и выходных параметрах. Например, при выборе в качестве математической структуры полинома вида

P(x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)(x – x1) + … + an + 1(x – x0)…(x – xn)

для данных с равноотстоящими значениями независимой переменной коэффициенты рассчитываются по упрощенному способу:

a0 = y0; ai i yi0 , i = 1, 2, …, n, i!h

где h – шаг интерполяции; iy0 – разность i-го порядка. В результате полином P(x) записывается в виде