Материал: 1284

55

понентов, но информация переходит от одной компоненты к другой по заданной схеме (такие переходы возможны только по окончании соответствующих операций).

Рисунок 2.31 – Распределение температуры по толщине корпуса РЭС

Непрерывные модели применяются при изучении систем, связанных с непрерывными процессами, которые описываются с помощью систем дифференциальных уравнений, задающих скорость изменения переменных системы во времени. Непрерывные модели можно описать с помощью конечноразностных уравнений, которые в пределе переходят в соответствующие дифференциальные уравнения. При этом программирование непрерывных моделей сводится к дискретной вычислительной задаче, которую можно символически записать в виде уравнения

y(t + t) = g[y(t), y(t – t), …, x(t), ],

где y(t), y(t – t) – соответственно векторы состояния системы с компонентами, определяемыми во все предыдущие моменты времени; x(t) – вектор внесистемных переменных; - вектор параметров системы; g – функция, определяющая поведение системы.

Конечно-разностные уравнения (линейные и нелинейные, стационарные и нестационарные, уравнения первого и более высокого порядков, одномерные и многомерные) позволяют описать самые разнообразные динамические системы как с дискретным временем, так и, в пределе, с непрерывным, т.е. это достаточно универсальный метод моделирования.

Рассмотрим линейное одномерное конечно-разностное уравнение q-го порядка (q > 1) с постоянными коэффициентами. Предположим, что наблюдения производятся в дискретные, равноотстоящие моменты времени. Примем также, что реакция на выходе такой динамической стационарной систе-

56

мы появляется с некоторой временной задержкой (на b интервалов квантования) по отношению к входному сигналу. С учетом указанных предположений запишем конечно-разностное уравнение в виде

y(k) = 1y(k – 1) + 2y(k – 2) + … + qy(k – q) + 0u(k – b) + 1u(k – b – 1) + … … + pu(k – b – p),

где 1, 2, …, q, 0, 1, …, p – параметры уравнения; k – номер очередного интервала квантования.

Линейное конечно-разностное уравнение высокого порядка подобного типа всегда можно заменить системой конечно-разностных уравнений первого порядка, выраженных в форме Коши, т.е. разрешенных относительно первых разностей. Это обстоятельство привело к тому, что в качестве наиболее общего вида представления математического описания стали широко использоваться конечно-разностные модели в форме Коши. Стационарная линейная система может быть описана моделью в стандартной форме:

(k 1) (k) Gu(k);y(k) H (k),

где y(k), (k), u(k) – соответственно векторы откликов, переменных состояния и управляющих входных сигналов.

Матрицы , G и H не зависят от момента времени, т.е. являются постоянными. Они могут включать неизвестные параметры модели, подлежащие оцениванию. Приведенную модель называют также канонической формой модели стационарной линейной системы с дискретным временем. Если система нестационарна, то матрицы , G и H будут зависеть от k.

Нелинейная импульсная система в достаточно общем случае может быть описана моделью

(k 1) v (k),u(k), k, ;y(k) (k),u(k), k, ,

где v[ ], [ ] – векторные функции.

Дискретизация возможна не только по аргументу – времени, но и по уровню (величине) сигналов. В этом случае сигналы имеют конечное число значений в некоторой заданной области существования. Подобные сигналы называют дискретными по величине или квантованными. И если непрерыв-

ному скалярному сигналу yн соответствует плавная кривая, то квантованному

скалярному сигналу yк отвечает кусочно-постоянная линия (рисунок 2.32). Системы (модели), у которых входные и выходные сигналы являются

непрерывными по времени и по величине, называют непрерывными. Если же входные и выходные сигналы дискретны по времени, то системы называют системами с дискретными временем или импульсными. Системы, у которых входные и выходные сигналы дискретны или по времени, или по величине, называют дискретными. Существуют также и системы промежуточного типа, у которых свойства сигналов как функций от времени различны. Например,

57

часть сигналов может быть непрерывной во времени, тогда как остальные сигналы могут быть дискретными. Такая система называется дискретнонепрерывной по времени.

y(t)

yн

yк

Рисунок 2.32 – Непрерывный (yн) и дискретный по величине (yк) сигналы

Пример моделей непрерывных и дискретных во времени. Рассмотрим непрерывную во времени модель несимметричного умножителя напряжения, которая применяется при малых токах нагрузки (в режиме, близком к холостому ходу) [11]. Аналитические выражения для описания указанной модели выглядят следующим образом. Связь между входным и выходным напряжением:

где ni – число конденсаторов с четными номерами.

Коэффициент пульсаций определяется приближенной формулой:

каждого плеча; f – частота источника питания.

В модели, представленной на рисунке 2.33, а выпрямленное напряжение в 4 раза больше амплитуды источника напряжения (вторичной обмотки трансформатора), так как коэффициент умножения, равный числу конденсаторов с четными номерами, в данном случае составляет 2 (рисунок 2.33, б). Заметим, что выходной сигнал умножителя напряжения изменяется по закону аналоговых функций (2.3), (2.4), что является характерной чертой непрерывных во времени моделей.

58

а)

б)

а) – схема электрическая принципиальная; б) – осциллограммы входного и выходного напряжения

Рисунок 2.33 – Выпрямитель с умножением напряжения

Дискретную во времени модель продемонстрируем на примере восьмиразрядного аналого-цифрового преобразователя (рисунок 2.34, а). Анало- го-цифровой преобразователь – устройство, предназначенное для преобразования непрерывно изменяющейся во времени аналоговой физической величины в эквивалентные ей значения числовых кодов. В аналитической форме процесс аналого-цифрового преобразования может быть представлен выражением [11]:

59

где Di – десятичный эквивалент шестнадцатиричного числа на выходной шине данных; результат в квадратных скобках – округление до ближайшего

целого числа; Di – погрешность преобразования на i-ом шаге; 256 - максимальное число, которое можно представить на восьми разрядах (28); Uвх(t) – значение входного сигнала в момент времени t; Uопор – значение опорного напряжения АЦП; ni = 0, 1, 2, … - целые числа; ТД – период дискретизации.

В данном примере амплитуда входного аналогового сигнала Uвх = 10 В; частота f = 1 кГц; частота тактовых импульсов f т = 30 кГц; опорное напряжение Uопор = 15 В. Таким образом, минимальное дискретное значение аналогоцифрового преобразования Dmin = 0; максимальное дискретное значение –

Dmax = (171)10 = (AB)16 (рисунок 2.34, б).

Заметим, что дискретная во времени модель АЦП преобразует электрический сигнал путем квантования по времени и уровню исходной аналоговой

функции Uвх(t).

Детерминированные и случайные модели. По наличию в модели слу-

чайных элементов, т.е. в зависимости от способа задания параметров, исходной информации, начальных условий и способа нахождения характеристик системы, математические модели можно подразделить на два больших класса: детерминированные и случайные (вероятностные, стохастические). В детерминированных моделях все исходные данные, ограничения и целевая функция (т.е. некоторое соотношение, количественно характеризующее поставленную перед системой цель) задаются в виде конкретных чисел, векторов или числовых функций.

В детерминированных моделях используются различные классические методы математики: дифференциальные, линейные, разностные и интегральные уравнения, операторы для сведения к алгебраическим моделям и др. При совместном рассмотрении этих соотношений состояния системы в заданный момент времени однозначно определяются через параметры системы, входную информацию и начальные условия.

По степени математической абстракции детерминированные модели можно разделить на сложные, описывающие все причинные связи какой-то реальной системы и позволяющие точно прогнозировать поведение системы в зависимости от изменения переменных (или параметров), и упрощенные, – в которых выбирается ряд основных, существенных зависимостей; устанавливаются и математически описываются связи между отдельными параметрами, соответствующие причинно-следственным закономерностям; другие, несущественные, связи отбрасываются (идеализированные модели).