Материал: 1284

50

иназывается интерполяционным полиномом Ньютона.

Винтерполяционном полиноме Ньютона используются разности, полученные при движении по одну сторону от значения, взятого в качестве начального. При использовании центральных разностей, т.е. разностей, полученных в результате применения как последующих значений функций (следующего после значения, выбранного в качестве начального), так и предыдущих, коэффициенты полинома рассчитываются следующим образом:

Введя обозначение g = (x – x0)/h, получим интерполяционный полином Гаусса для равноотстоящих 2n точек интерполяции:

Модификациями указанных полиномов являются интерполяционные

Для неравноотстоящих узлов интерполяции используется интерполяционный полином Лагранжа

Особое место среди известных математических структур занимают ортогональные полиномы. Ортогональным называется полином вида

P(x) = k0 0(x) + k1 1(x) + … + kn n(x),

если всякая функция i(x) системы 0(x), 1(x), …, n(x) нормальна и две различные функции i(x) и j(x) указанной системы функций ортогональны в заданном интервале a x b, т.е. имеет место равенство

51

Подобный выбор функций 0(x), 1(x), …, n(x) дает возможность при квадратичном приближении произвести упрощенный расчет коэффициентов

k0, k1, …, kn.

Наиболее часто используют те ортогональные полиномы, для которых легко найти выражение в явном виде. Такими являются, например, приведенные ниже полиномы Чебышева, используемые для промежутка [–1, +1]. Полином Чебышева первого рода определяется выражением

P(x) a20 T0 (x) a1T1(x) a2T2 (x) ... ,

где значения Ti(x) определяются по выражению

Ti(x) = cos i arccos x, i = 0, 1, 2, … .

Для целых положительных значений i это выражение является обыч-

ным степенным полиномом, так как T0(x) = 1; T1(x) = x; T2(x) = 2x2 – 1; T3(x) = 4x3 – 3x.

При изменении х в промежутке [–, + ] используется полином Эрмита

P(x) = a0H0(x) + a1H1(x) + a2H2(x) + …,

где

Hi (x) ( 1)i ex 2 d ie x 2 / dxi ; i = 0, 1, 2, … .

В частности,

H0(x) = 1; H1(x) = 2x; H2(x) = 4x2 – 2; H3(x) = 8x3 – 12x; H4(x) = 16x4 – 48x2 + 12.

Для периодических функций используются тригонометрические поли-

номы

n

P(x) a0 ai cosix bi sinix .

i 1

Каждая из математических структур обладает своей спецификой, что и определяет область ее применения при моделировании. Интерполяционные полиномы используются для объектов с известными зависимостями или с точными данными о значениях входных и выходных параметров.

Пример линейной и нелинейной модели. Дана функция f(x) = sin x. Если применить линейную модель g(x) = K f(x) + B, то получим линейное преобразование исходной функции. На рисунке 2.30 показано линейное преобразование функции при К = 2 и В = 5. Результат преобразования – функция g(x) = 2 sin x + 5.

52

Рисунок 2.29 – Линейное преобразование функции f(x) = sin x

В радиотехнике широко применяется разложение функций в ряды Фурье – типичный пример использования нелинейной модели. Пусть дана периодическая функция единичного импульсного сигнала:

Для представления данной периодической функции можно использовать нелинейную модель – тригонометрический ряд Фурье (рисунок 2.30):

T2

53

Рисунок 2.30 – Представление единичного импульса с помощью нелинейной модели – тригонометрического ряда Фурье

Модели распределенные и сосредоточенные в пространстве. Иссле-

дуемый объект (процесс) может быть распределенным или сосредоточенным в пространстве и одновременно изменяться во времени. Модели, описывающие распределенные процессы, называются моделями с распределенными параметрами. Обычно они имеют вид дифференциальных уравнений в частных производных. Если основные переменные процесса не изменяются в пространстве, а только во времени, то математические модели, описывающие такие процессы, называют моделями с сосредоточенными параметрами и представляют их в виде обыкновенных дифференциальных уравнений.

Если процесс развивается одновременно и во времени, и в пространстве (по одной координате l), то оператор А может преобразовывать входную векторную функцию X(t, l) в выходную векторную функцию Y(t, l) и зависеть от обоих аргументов:

А = А(t, l) = Аt, l.

Пример моделей сосредоточенных и распределенных в пространстве.

Рассмотрим корпус блока РЭС, нагреваемый с внешней стороны и изолированный с внутренней стороны, что характерно для космической аппаратуры. Известно, что нагрев обусловлен действием теплового потока мощностью P =

4000 Вт, при этом температура на внешней стороне блока составляет T2 = 100С. Тепловое сопротивление корпуса блока РЭС равно R = 0.02 С /Вт. Требуется определить температуру T1 на внутренней стороне корпуса.

54

Для решения поставленной задачи можно применить математическую модель с сосредоточенными пространственными параметрами по методу электротепловой аналогии:

где тепловой поток аналогичен электрическому току, тепловое сопротивление

– аналог электрическому сопротивлению, а разность температур представляет собой аналог разности потенциалов. Нетрудно выразить неизвестную вели-

чину: T1 = T2 - R P = 100 – 0.02 4000 = 20 C.

Следует заметить, что модель с сосредоточенными пространственными параметрами (2.1) не дает никакой информации о температурном профиле по толщине корпуса блока РЭС, т.е. о распределении температуры по пространству. Чтобы иметь данные о температуре в любой точке по толщине корпуса необходимо применение модели с распределенными параметрами. Соотношение между температурой, временем и расстоянием от точки нагрева описывается дифференциальным уравнением в частных производных:

где а – коэффициент температуропроводности.

Температура в этом уравнении является функцией двух переменных: времени t и расстояния l, т.е. в любой момент времени ti температура изменя-

ется с изменением расстояния li или, наоборот, в любом месте li температура изменяется со временем.

Для анализа температурного профиля по толщине корпуса введем дополнительные исходные данные: коэффициент температуропроводности а = 1.36 10-4 м2/с; толщина корпуса l = 0.06 м; момент времени с начала действия теплового потока t = 1 c. Результат решения задачи с применением математической модели с распределенными параметрами (2.2) представлен на рисунке

2.31.

Модели непрерывные и дискретные во времени. Непрерывной во вре-

мени модель является в том случае, когда характеризующая ее переменная определена для любого значения времени; дискретной во времени, – если переменная получена только в определенные моменты времени. Непрерывный во времени процесс определяется моделью Y = A(t), где t может принимать любое значение.

Дискретный во времени процесс определяется моделью Y = f(k t), где k

= 0, 1, 2, ….

Так, если сигнал х(t) некоторого компонента системы определен только в моменты времени t1, t2, …, то такой дискретный сигнал при моделировании

записывают в виде последовательности (х(t1), х(t2), …). Дискретность модели может также возникнуть в том случае, если она состоит из непрерывных ком-