Материал: 1284

60

а)

б)

а) – схема включения; б) – входной и выходной сигналы

Рисунок 2.34 – Восьмиразрядный аналого-цифровой преобразователь

Между этими двумя моделями существует ряд моделей, отличающихся степенью детализации. Первые модели, являясь наиболее точными и достоверными в чистом виде, из-за сложности не могут широко применяться в моделировании. На практике чаще всего применяются упрощенные идеализированные модели. При этом считается, что имеются существенные и несущественные факторы: существенные учитываются, несущественные отбрасываются. Между принятыми в модели факторами и результирующими показателями устанавливается жесткая детерминированная связь. Широкое распространение идеализированных моделей вызвано их простотой и возможностью логического обоснования.

61

Любому реальному процессу присущи случайные флюктуации. Однако выбор детерминированной или вероятностной математической модели зависит от того, учитываются ли случайные факторы. Выделение детерминированных моделей в отдельный класс объясняется широким их применением и разнообразием математических методов решения детерминированных задач.

Если хотя бы один параметр модели или ограничительная функция имеет в качестве своих значений случайный вектор или случайную величину, то это случайная (стохастическая) модель. В этом случае под однозначностью определения характеристик моделируемого процесса понимается однозначное определение распределений вероятностей для характеристик процесса при заданных распределениях вероятностей для начальных условий и возмущений.

Стохастический характер модели связан с наличием в объекте и в среде различных неконтролируемых, но существенных факторов, которые можно моделировать статистически. Состояние системы в этом случае Y = F(X, U, E(t)), где E(t) – случайный процесс, моделирующий имеющуюся неопределенность объекта и среды. Эта неопределенность может быть связана как с быстрым изменением параметров объекта, так и с помехами, накладывающимися на измеряемые значения сигналов на входе и на выходе объекта.

Стохастический объект и его модель ведут себя неоднозначно в одинаковых ситуациях, что моделируется случайным вектором E(t), статистические свойства которого должны быть заданы. В простейшем случае

Y = F(X, U) + E(t).

Переход от детерминированной модели к стохастической осуществляется таким образом, чтобы она отражала в себе случайный характер данных и самой модели. Способ перехода выбирается в зависимости от сведений об изучаемой модели: уверенности в правильности и надежности данных и модели. При этом возможно, что эти сведения ошибочны.

Например, в случае детерминированного безынерционного объекта, когда возмущение и реакция могут рассматриваться как случайные величины X и Y соответственно, математическая модель, описывающая объект, дается в виде условного математического ожидания Y относительно X, т.е. объект описывается уравнением вида

M Y X = f(X),

где M Y X – условное математическое ожидание Y относительно X, f – неслучайный закон преобразования.

Так, для усилительного элемента, на входе которого действует случайная величина X, выходной сигнал Y имеет вид

62

Y = M Y X = KX.

В общем случае для стохастических объектов оператор является случайным (например, коэффициенты линейного дифференциального уравнения, весовые функции и т.д.).

Пример детерминированной и вероятностной модели. Рассмотрим ак-

тивный фильтр низких частот на основе неинвертирующего усилителя (рисунок 2.35, а). Хорошо известна классическая детерминированная модель для описания верхней частоты полосы пропускания фильтра [11]:

Детерминированная модель (2.5) позволяет однозначно определить ширину полосы пропускания, поскольку исходные данные задаются в виде конкретных чисел. В частности, если номинальные значения резистора обратной

связи RОС = 100 кОм, а емкости обратной связи – СОС = 75 нФ, то верхняя ча-

стота полосы пропускания равна fВ = 21.22 Гц (рисунок 2.35, б). Максимальный коэффициент передачи также описывается детерминированной зависимостью:

где КОУ – коэффициент усиления операционного усилителя; КОС - коэффициент передачи цепи обратной связи.

Если принять КОУ = 50 000 и R1 = 1 кОм, то максимальный коэффициент передачи составит К = 100 (40 дБ).

Детерминированная модель (2.5) дает идеализированное представление о функционировании активного RC-фильтра. Для более адекватного описания системы может служить вероятностная (случайная) модель. Пусть партия

электрорадиоэлементов RОС и CОС в условиях серийного производства RC – фильтра имеет случайный 10-процентный разброс параметров. Известно, что разброс параметров подчинен нормальному (гауссовскому) распределению. В этом случае для определения верхней частоты полосы пропускания необходимо использовать вероятностную модель:

Случайный разброс аргументов ROC, COC обуславливает случайные значения функций (2.6), (2.7), а именно – девиацию верхней частоты полосы пропускания и максимального коэффициента передачи (рисунок 2.35, в). Множество значений функции нескольких случайных аргументов наглядно

64

в)

г)

а) – схема электрическая принципиальная; б) – функция, реализуемая детерминированной моделью;

в) – функция, реализуемая вероятностной моделью; г) – плотность вероятности верхней частоты фильтра, обусловленная случай-

ным разбросом параметров Сос и Rос

Рисунок 2.35 – Активный фильтр низких частот

Информационные модели. С помощью информационных (процедурных) моделей моделируются сложные устройства и комплексы типа вычислительных машин, радиолокационные станции, системы управления большими