Материал: 1284

70

ность h – это функциональное соотношение, которое может быть задано как в виде формулы (некоторой аналитической зависимости), так и в виде табли-

цы отдельных пар чисел, соответствующих q (значения аргумента и функции, заданные на некотором подмножестве или всем пространстве состояний

Xq).

Таким образом, h = q, q = 1, 2, …, Qh, где q – экспериментальный физический факт, выявляющий элементарное свойство системы и проявляющийся в определенных условиях.

Началу процесса функционирования Сk в соответствии с q, т.е. конкретной реализации физической закономерности, однозначно соответствует

…, хсy).

В каждый момент времени t система С и среда М находятся в одном определенном состоянии (ХC, t, ХМ, t), которое в общем случае может быть известно лишь с некоторой вероятностью.

Событием в С назовем всякое изменение состояния ХC. Изменение можно зафиксировать только сравнением векторов, соответствующих состояниям С в различные моменты времени t и t + ( > 0).

Рассмотрим события, происходящие в результате взаимодействия системы и среды. Обозначим событие в Сk как ХC, t, t + = < ХC, t, ХC, t + >; со-

бытие в среде М – как ХМ, t, t + = < ХМ, t, ХМ, t + >.

Результат взаимодействия – это пара событий (событие в отдельной системе Сk и событие в среде):

<C, М, t, t + > = ХC, t, t + , ХМ, t, t + .

При моделировании удобно наблюдать за изменениями в полной системе С через изменения в отдельных подсистемах Сk.

Всякое взаимодействие отдельной подсистемы Сk0 с другими Сk М порождает пары событий, наблюдаемых в Сk0 и в М, разделенных между собой во времени интервалом = t – t, имеющем, в общем случае, случайную продолжительность.

Взаимодействием элементов системы, или взаимодействием элемен-

та системы со средой, назовем пары событий, отнесенные к различным моментам времени t и t (t t). Причем событию < C, М, t>, отнесенному к моменту t (процесс изменений в <X>, заканчивающийся в момент t), будет всегда с определенной вероятностью соответствовать событие < C, М, t > (процесс заканчивается в момент t).

71

Любое свойство системы проявляется в определенных условиях в ре-

зультате взаимодействия со средой. Конкретному эксперименту q всегда соответствуют в определенный момент времени t определенные условия, возникающие в результате некоторого предшествующего события в С. Эти условия заключаются в следующем:

1)система С должна находиться в одном из допустимых для данного эксперимента q состояний Xq X q;

2)для каждой из координат вектора Xq – Xq, j определяется значение функции q, j в момент времени t:

q, j = 1, если хq, j xj *, , q, j;q, j = 0, если хq, j xj *, , q, j,

где xj *, , q, j – множество допустимых состояний по координате j в момент времени t.

Событие в системе С, соответствующее появлению условий, определяющих проявление свойства q, выявляется функцией

* q = * q(q, 1, q, 2, …, q, j, …, q, N).

Здесь * q принимает значение 1, если Xq <Xq>, и 0 – в противном

случае. Если * q = 0, то никаких событий не происходит; если * q = 1, т.е. возникают условия, в которых начинается физический процесс, соответству-

ющий q, то наблюдаемое событие

<C, М, t, t + > = ХC, t, t + , ХМ, t, t + .

Событию в Сk ХC, t, t + , t , которое рассматривается в описании q, соответствует оператор

*q Xt , ,

где *q задает отображение Xt – в X q, t .

Оператор = *(* (Хt)) задает отображение Хt в X q, t .

Конкретный вид функций * и для всех q, т.е. для всех возможных

взаимодействий по всем Сk, задает пересечение XС, К и XМ по координатам и тем самым определяет структуру С (множество элементов системы и их взаимодействия).

Изменения структуры системы определяются изменением состава С, т.е. свойств элементов системы в результате их взаимодействий. Описание

изменений системы С состоит в описание изменений *, для различных q при всевозможных взаимодействиях. Если считать элементарными терминами составляющие q: *, , *, то изменения структуры могут описываться

72

через изменения состава q, для чего может вводиться функция , определя-

ющая соответствие состава оператора q событию в системе.

Пример. Рассмотрим некоторый процесс А функционирования сложной радиоэлектронной системы С, для которого в качестве характеристик состоя-

ний выбраны функции x1(t), x1(t), …, xn(t), а в качестве параметров – величи-

ны a1, a2, …, ak. Математическая модель для процесса А – система соотношений вида

x1(t) = f1(t, a1, a2, …, ak);

…………………………

xn(t) = fn(t, a1, a2, …, ak).

Если бы функции f1, f2, …, fn были известны (точно или с необходимой степенью приближения), приведенные соотношения оказались бы идеальной в данных условиях математической моделью процесса. На практике модели такого вида, когда характеристики процесса являются явными функциями только его параметров и времени, встречаются редко.

Если продолжить рассмотрение некоторого процесса А, то его можно

расчленить на ряд элементарных актов (блоков, подпроцессов) Аi (i = 1, 2, …, m) таким образом, чтобы построение математической модели для каждого из них было заведомо возможно (рисунок 2.39). Граница между ними условна и проходит «по телу» РЭС, рассекая многочисленные связи с циркулирующими по ним потоками информации. При технологически грамотном расчленении РЭС часть его элементов из модели исчезает, поэтому такие элементы не оказывают значимого влияния на ход процессов, исследуемых с помощью модели.

Разделение модели системы на блоки неоднозначно и зависит от того, какие части системы ранее анализировались автономно, от имеющихся стандартных программ, от традиций исследователя и т.п. Однако при прочих равных условиях обмен информацией между блоками должен быть по возможности минимальным. При решении вопроса о допустимости удаления блока без замены его эквивалентом несущественными и подлежащими удалению считаются блоки модели, маловлияющие на принятый критерий интерпретации результатов моделирования. Правила замены блоков упрощенными эквивалентами различаются в зависимости от характера взаимодействия блоков с оставшейся частью системы. Например, удаляя оконечные блоки, составляющие описание взаимодействующего с моделируемой системой «потребителя», следует отразить интересы последнего при формировании критерия интерпретации результатов моделирования.

Рассмотрим способы замены блока, воздействующего на исследуемую часть системы. Это воздействие зависит не только от структуры блока, но и от реакции со стороны исследуемой части. Поэтому характеристики воздействия в общем случае нельзя однозначно определить при автономном исследовании блока, и его нельзя заменить одним, не зависящим от исследуемой части эквивалентом.

Блок модели, воздействующей на исследуемую часть системы, можно заменить множеством упрощенных эквивалентов, не зависящих от исследуемой части. Каждый эквивалент формирует одно из возможных воздействий в пределах заданного диапазона, а моделирование проводится в нескольких (по числу воздействий) вариантах.

Применим рассмотренные правила к схеме рисунка 2.39. При удалении оконечных элементов (22, 23, 36, 37 на рисунке 2.39, а), составляющих описание взаимодействующего с системой «потребителя», часто невозможно наглядно представить результаты моделирования. Поэтому функционирование этих элементов следует отразить при конструировании критерия r интерпретации результатов (рисунок 2.39, б).

74

Ряд элементов (14, 15, 28, 29) заменяются пассивными связями, транслирующими без искажения информацию, которой обмениваются сохранившиеся элементы. Некоторая часть элементов заменяется внешними воздей-

ствиями. Например, элементы 10, 11, 24, 25 заменены воздействием 1, элементы 1-4 – воздействием 2. Возможны комбинированные замены: элементы

18, 19, 32, 33 заменены пассивной связью и воздействием 3. Оставшиеся элементы группируются в блоки I, II, III. Описания этих блоков могут быть полностью воспроизведены в модели или, если это необходимо, заменены упрощенными операторами, характеризующими отдельные аспекты функционирования соответствующей части системы.

Пусть характеристиками состояний подпроцессов в блоках Ai будут соответственно функции zij, j = 1, 2, …, ri. В качестве параметров для описания подпроцессов Ai выберем соответственно величины il, l = 1, 2, …, hi. Сово-

купность математических моделей для подпроцессов Ai, рассматриваемых совместно для всех i = 1, 2, …, m, в общем случае еще не составляет математической модели для процесса A. Эта совокупность характеризует отдельные

изолированные подпроцессы Ai:

Ai q zi1, zi2 ,..., ziri ,i1, i2 ,...,ihi ,t 0.

Кроме этих соотношений, необходимо иметь соотношения вида

p(x1, x2, …, xn, a1, …, ak, z11, …, zmr, 11, …, mh, t) = 0, p = 1, 2, …, s,

связывающие характеристики zij подпроцессов Ai с характеристиками x1, x2,

…, xn процесса A. Совокупность соотношений двух последних видов может служить математической моделью процесса A. Получившаяся таким образом блочная модель (рисунок 2.39, б) предназначена для моделирования взаимодействия блоков через немногочисленные связи, пропускающие ограниченную и обозримую информацию.

Блочные модели являются естественным средством для исследования управляемых систем, конструктивно расчлененных на отдельные аппараты и установки. В связи с этим процесс построения моделей иерархичен: каждый блок (аппарат) в свою очередь допускает блочное представление. Это облегчает управление моделью и организацию (разделение) работ по ее программированию. Каждый блок может быть исследован автономно: аналитически, экспериментально или посредством специального «внутреннего» моделирования. При этом описание некоторых блоков может быть задано стохастически.

Совокупность алгоритмов, моделирующих элементы, с учетом алгоритмов их взаимодействия определяет исходный моделирующий алгоритм системы. В большинстве случаев исходный алгоритм нельзя положить в ос-