Документ: 1943, страницы 71-75 | База учебных материалов

с координатой x = 0			имеет во всех		своих точках температуру t1 , а ей
противоположная с координатой x =δ					– температуру t2 (рис. 4.1).
z
z
t1						RT
		t2	а)					б)
		t2	а)					б)
	δ			t1			t2
				t1			t2
0				x
0				x

y

Рис. 4.1 Диаграмма теплопроводности плоской стенки (а) и её электрическая схема замещения (б)

Пусть имеет место установившийся тепловой поток. Тогда согласно

закону Био – Фурье (4.6) с учётом,

что

для

нашего

частного случая

gradt =

dt

, получим уравнение

И

dx

dt

q

= −

= const.

dx

λ

При граничных условиях t(0) =Дt и t(δ) = t

2

после его интегрирования

1

получим

А

q

= −

δ.

t2

− t1

λ

Из последнего равенствабследует, что тепловой поток

и

q = −

t2 − t1

.

(4.9)

δ / λ

Величина, обратная теплопроводности, по смыслу является удельным

сопротивлением распространению теплоты.

С

в

этом случае

есть скалярное

Мощность теплового потока

произведение

P =[q,n]S cosα,

где n −нормаль к площади поверхности, через которую проходит тепловой поток; α − угол между этой нормалью и направлением теплового потока q .

Если нас интересует мощность теплового потока в заданном направлении, то в качестве S принимается площадь поперечного сечения данного потока. В этом случае α = 0 и P = qS .

Умножим левую и правую части уравнения (4.9) на площадь используя равенство P = qS , получим

P = −t2 − t1 ,

RT

S и,

(4.10)

71

где RT − тепловое сопротивление плоской стенки, которым обозначена
следующая величина:						= 1 δ
					R	= 1 δ	,				(4.11)
где 1 −					T	λ S
где 1 −	удельное тепловое сопротивление материала.
λ
Из сравнения формул (4.4) и (4.11) видна полная аналогия между
активным электрическим сопротивлением R и введённым здесь тепловым
сопротивлением RT . При этом выражение (4.10) имеет полную аналогию с
законом Ома, где роль тока выполняет мощность теплового потока, роль
разности потенциалов – разность температур, а роль электрического
сопротивления – тепловое сопротивление. На этом основании
рассмотренному		процессу		теплопроводности					можно		сопоставить
электрическую схему замещения (рис. 4.1,б).
Если плоская стенка состоит из нескольких слоёв с нулевыми зазорами
между ними, то схема замещения будет представлена следующей цепочкой
сопротивлений:								tk +3
tk	Rk	tk +1	Rk +1	tk +2	Rk +2			tk +3	Rk +3		tk +4
						И
Рис. 4.2. Электрическая схема замещения для многослойной стенки
					Д			RT будет равно сумме всех
Для такой схемы о щее сопротивление								RT будет равно сумме всех
последовательно включенных сопротивлений, а распределение температуры
в данном случае будет				А
в данном случае будет			меть в д ломаной линии.
Если плоская стенка разделяет две среды с разными температурами t01 ,
			б
t02 и соответственно разными коэффициентами теплоотдачи kT1 , kT 2 , то
температура будет изменятьсяи				по некоторой кривой (рис. 4.3, а).
	z
	t01 С		а)		t01	RT1		t1	RT 2	t2	RT 3 t02
	t1		а)
	t2								б)
	t02								б)
	δ			x
	y 0			x
Рис. 4.3. Диаграмма теплопроводности плоской стенки, разделяющей две среды (а) и её
			электрическая схема замещения (б)
					72

Здесь RT 2 = λ1 δS −тепловое сопротивление плоской стенки, RT1 и RT 3 –

тепловые сопротивления теплоотдачи конвекцией, которые находятся из уравнения Ньютона (4.7):

R	=	1	и R	=	1	.

T1		kT1Sохл	T 3		kT 2Sохл

Вопросы для самоконтроля и задания

1. Как выглядит запись закона теплопроводности Био – Фурье при применении его к прямоугольному параллелепипеду из однородного материала, одна из стенок которого нагревается, а противоположная ей стенка охлаждается внешней средой?

2. Решите это уравнение при условии, что нагреваемая стенка имеет во всех своих точках температуру t1 , а ей противоположная с

	координатой x =δ		– температуру t2 .
3.					И
	Используя это решение, получите зависимость мощности теплового
	потока от разности температур между нагреваемой и охлаждаемой
	стенками параллелепипеда.
4.	Что представляет собой сопротивление тепловому потоку в
	рассматриваемом параллелепипеде? От каких величин оно зависит?
5.				А
	Установите аналогию между формулой (4.10) и законом Ома.
6.	Постройте электрическую схему замещения данному тепловому
		б
7.	процессу, используя эту аналогиюД.
	Постройте электрическую схему замещения для теплового потока,
	и
	проходящего через плоскую стенку из нескольких слоёв без зазоров
	между н ми.
8.	Напишите формулы для тепловых сопротивлений конвективной
	С
	теплоотдачи постройте схему замещения теплообмена двух сред

через разделяющую их плоскую стенку.

4.3. Теплопроводность плоской стенки с внутренним источником теплоты

Довольно часто электрические аппараты можно описывать в виде модели, имеющей плоские стенки с источниками теплоты, у которых по бокам имеются плоские стенки толщиной ∆1 и ∆2 без источников теплоты, а

их наружные плоскости обеспечивают теплоотдачу в окружающую среду при температуре t0 в обе стороны (рис. 4.4,а).

Здесь рассмотрена плоская стенка с равномерным распределением источников теплоты по плоскости, имеющей координату x = xm . Во всех

точках этой плоскости температура одинаковая, равная максимальной температуре tm . Материал этой стенки имеет теплопроводность λ . Теплота

от плоского источника распространяется по данному материалу в обе

73

стороны так, что с её левого боку устанавливается температура t1 , а с

правого – t3 .

Далее теплота распространяется по плоским стенкам без источников

теплоты. Теплопроводность левой стенки (толщиной ∆1) равна λ1, правой –

λ2 . Наружные поверхности боковых стенок имеют температуры t2

и t4

соответственно. Через эти поверхности охлаждения происходит теплоотдача

в окружающую среду с температурой t0 – процесс конвективного

теплообмена (см. рис. 4.4,а).

xm

∆1

1

t

а)

t1

t2

б)

2λS

λ1S

kT1S

tm

t3

P1

t1

t2

t4

δ − xm

∆2

1

t0

t3

t4

2λS

λ2S

kT 2S

x2

xm

x3

x4

x

И

0

δ

P2

∆

2

P

1

Д

t0

tm

Рис. 4.4. Плоская стенка с внутренними источниками теплоты: а) – распределение

А

температуры; ) – электрическая схема замещения

б

уже разветвлённая схема

Для данного процесса теплообмена будет

замещения (рис.

4.4,б). Здесь левая охлаждающая поверхность имеет

и

, а правая – kT 2 .

коэффициент теплоотдачи kT1

С использованием электрической схемы замещения можно

производить тепловой расчёт процесса теплообмена с применением правил

С

Кирхгофа и закона Ома. Например, для данной схемы (см. рис. 4.4,б)

получается следующая система уравнений.

1-е правило Кирхгофа:

xm

P = P1 + P2.

(4.12)

2-е правило Кирхгофа:

P

+

∆1

P +

k

P1

= t

m

− t

0

;

(4.13)

2λS

1

λ S

1

S

δ − xm P

1

T1

P2

+ ∆2 P

+

= t

m

− t

0

.

(4.14)

2λS

2

λ

2

S

2

k

S

xm

T

2

∆1

Закон Ома для шести участков цепи:

P

= t

m

− t

;

P = t

− t

2

;

(4.15)

2λS

1

λ

S

1

74

P1		= t	2	− t	0	;	δ − xm P		= t	m	− t	3	;	∆2			P	= t	3	− t	4	;	P2		= t	4	− t	0	. (4.16)
k	S		2		0		2λS	2		m		3		λ	2	S	2		3		4		k	S		4		0
T1															2								T 2

Используя эту систему из девяти уравнений, можно определить девять неизвестных при расчёте теплообмена для данного примера электрического аппарата.

Для цилиндрических стенок с источниками теплоты схема замещения будет такой же, как и для случая плоских стенок, а тепловое сопротивление, тепловые потоки и радиус наиболее горячего слоя определяются из справочной литературы.

Катушки электромагнитных аппаратов без магнитопроводов при расчётах можно рассматривать как стенки с равномерно распределёнными источниками теплоты. Если катушка плоская, то следует использовать метод расчёта плоской стенки, а если цилиндрическая, то метод расчёта

цилиндрической стенки.						И
Удельную мощность источника теплоты в катушке рассчитывают по
формуле				P = ρ(Iw)2 /(kзSок2
							),	(4.17)
где Iw − МДС катушки,					Д		число витков катушки; ρ −
				А; I − ток, А; w −
удельное		сопротивление		провода, Ом·м;		kз	− коэффициент	заполнения
				А
обмотки;		Sок − площадь обмоточного окна, м2.
Вопросы для самоконтроля
			б
1.	Чему равно сопротивление участка [−∞, x2 ] (см. рис. 4.4,а)?
2.	Чему равно сопротивление участка [x2 ,0] (см. рис. 4.4,а)?
3.	Чему равно сопрот вление участка [0, xm ] (см. рис. 4.4,а)?
4.	Чему равно сопрот вление участка [xm,x3] (см. рис. 4.4,а)?
5.		С					, x4 ] (см. рис. 4.4,а)?
	Чему равно сопрот вление участка [x3
6.	Чему равноисопротивление участка [x4 ,∞] (см. рис. 4.4,а)?
7.	Какие возможности для теплового расчёта обеспечивает
	электрическая схема замещения?
8.	Сколько неизвестных позволяет определить система уравнений (4.12
	– 4.16)?

4.4. Режимы нагрева электрических аппаратов

Электрические аппараты при эксплуатации могут находиться в следующих режимах работы:

–продолжительный режим, когда электрический аппарат достигает установившейся температуры нагрева, при которой работает под нагрузкой сколь угодно долго;

–кратковременный режим, когда температура частей электрического

аппарата достигает установившейся температуры нагрева, а в период отсутствия нагрузки достигает температуры окружающей среды;

75

Материал: 1943

4.3. Теплопроводность плоской стенки с внутренним источником теплоты

4.4. Режимы нагрева электрических аппаратов

Смотрите также: