Документ: 1943, страницы 76-80 | База учебных материалов

–прерывисто-продолжительный режим, когда электрический аппарат достигает установившейся температуры нагрева, при которой работает под нагрузкой ограниченное техническими условиями время;

–повторно-кратковременный режим, когда электрический аппарат не

достигает установившейся температуры нагрева за время работы под нагрузкой, а за время паузы не достигает температуры окружающей среды;

– режим короткого замыкания, когда электрический аппарат находится непродолжительное время под нагрузкой при токе короткого замыкания.

При включении электрического аппарата под нагрузку по его токопроводящим частям потечёт возрастающий по величине ток I , нагревая аппарат. Процесс этого нагрева для бесконечно малого интервала времени dτ можно описать следующим уравнением баланса энергии:

I 2Rdτ = cγVdt + k

S

охл

(t

−t

с

)dτ,

(4.18)

I 2Rdτ = dQ −

T

где

джоулева

теплота,

Дж,

выделенная

в

результате

протекания тока I , А, за время dτ ,

с;

R −

суммарное

активное

сопротивление токоведущих частей, Ом;

cγρdt − часть джоулевой теплоты,

которая ушла на нагрев на

Д

dt градусов материала, занимающего объём V ,

м3,

плотностью

γ

, кг

,

и

массовой

теплоёмкостью

c

,

Дж

;

T

м3

А

И

кг К

kT Sохл(t − tс)dτ − часть теплоты,

которая была отдана за интервал времени

dτ

в окружающую среду с температурой tс , С, с учётом всех трёх видов

теплообмена;

k

−коэффициент такой теплоотдачи,

Вт

;

t −температура

м2 К

охлаждающей

поверхности

аппарата,

С ;

S

охл

− площадь

охлаждающей

б

поверхности аппарата, м2.

Вопросы дляисамоконтроля и задания

1.

Какой режим работы электрического аппарата называется

продолжительным?

2.

КакойСрежим работы электрического аппарата

называется

кратковременным?

3.

Какой режим работы электрического аппарата называется

прерывисто-продолжительным?

4.

Какой режим работы электрического аппарата называется повторно-

кратковременным?

5.

Что представляет собой режим короткого замыкания?

6.

Составьте уравнение теплового баланса для продолжительного

режима работы электрического аппарата.

4.5. Продолжительный режим работы электрического аппарата

В уравнении (4.18) перейдём к новой переменной θ = t − tc − температура перегрева (превышение температуры охлаждающей

76

поверхности аппарата над температурой окружающей среды). Тогда dθ = dt

и

dθ

+

k

T

S

охл θ =

I 2R

или

dτ

cγV

dθ

+αθ = β,

(4.19)

dτ

где

α =

k

T

S

охл , β =

I 2R

−не меняющиеся во времени величины.

cγV

Найдём решение линейного неоднородного уравнения первого порядка (4.19) методом вариации произвольной постоянной. Сначала найдём общее

решение однородного линейного уравнения:

dθ

= 0

∫

d

θ

= ∫αdτ

+αθ

dτ

θ

= −ατ, откуда

или lnθ

− ln c0

= ln

c0

А

= c

e−ατ . И

(4.19а)

θ

ˆ

б

0

Это общее решение однородногоДлинейного уравнения. Частное

решение уравнения (4.19) ищем в виде θˆ

=ϕ(τ)e−ατ . Подставим это решение

в (4.19). Получим

и

dθ

ˆ

dϕ

e

−ατ

+ϕe

−ατ

(−α) +αϕe

−ατ

dϕ

e

−ατ

= β.

+αθ

=

dτ

Откуда

С

ατ

β

ατ

dϕ = βe dτ

ϕ = α e .

Следовательно, частным решением уравнения (4.19) будет

θˆ =ϕ(τ)e−ατ = αβ .

Аискомое общее решение уравнения (4.19)

θ=θ +θˆ = c0e−ατ + αβ .

77

Заменим в этом уравнении величины α и β их исходными значениями. Получим

θ = c0e−	kT Sохл		τ				I 2R
	cγV		τ	+			I 2R		.	(4.20)
	cγV			+					.	(4.20)
						kT Sохл
Из (4.20) следует, что при τ → ∞ температура перегрева стремится к
некоторой постоянной величине:
	θу =		I 2R					.		(4.21)
	θу =	k		S				.		(4.21)
		k		S	охл
			T		охл

Её называют установившейся температурой перегрева. Величина, обратная

α = kT Sохл , имеет размерность времени, с, и называется постоянной времени

cγV

Д

нагрева:

1

cγV

T =

=

.

(4.22)

А

α

kT SохлИ

С использованием введённых выше новых параметров по формулам

(4.21) и (4.22) уравнение (4.20) приведём к виду

б

=θ

+ c e

−

τ

(4.23)

и

θ

у

T .

0

Значение про звольной постоянной c0

найдём из условия, что

начальная температура перегрева

электрического аппарата

известна, т.е.

−

0

θ(0) =θ

н

. Тогда з (4.23) меем

θ

н

=θ

у

+ c e

T =θ

у

+ c , т.е. θ −θ

у

= c

0

.

0

С

θ =θ

−τ

+θ

e

−

τ

(4.24)

1− e

T

н

T .

у

Если теперь вернуться к исходным переменным (от перегрева к

температуре), то из (4.24) можно получить

t(τ) = t

− e

−

τ

+ t

e

−

τ

(4.25)

1

T

н

T .

у

Найденное значение c0 подставим в (4.23). Зависимость температуры перегрева в продолжительном режиме примет окончательный вид

На рис. 4.5,а представлен график кривой (4.24). Он описывает процесс нагрева.

78

θ	°C	θ	°C

θу		θу
θн		θн
	а)		б)
0	τ	0	τ
	с		с

Рис.4.5. Графики температуры перегрева θ(τ) = t − tс при продолжительном режиме: а) – нагрев и б) – остывание

Процесс охлаждения проводника согласно (4.18) будет описываться дифференциальным уравнением

н

0

И

cγVdt + kT Sохл(t − tс)dτ = 0,

что соответствует уравнению

dθ

+αθ = 0

, общее решение которого (4.19а),

dτ

Дн

то есть θ(τ) = c0e−ατ

= c0e−τ / T .

Используя начальное условие θ(0) =θн,

получим, что

= c

А

проводника

температура

θ

. Поэтому

при

остывании

перегрева будет изменяться по закону

б

e−τ / T ,

θ(τ) =θ

график которого представлен на рис. 4.5,б.

и

Вопросы для самоконтроля и задания

1. Что

такое

установ вшаяся температура перегрева? Как она

С

вычисляется?

2.

Что такое постоянная времени нагрева? Как она вычисляется?

3.

Напишите

окончательную

формулу

изменения

температуры

перегрева по времени в продолжительном режиме работы

электрического аппарата.

4. Напишите дифференциальное уравнение энергетического баланса

для процесса охлаждения электрического аппарата, когда он

отключён от источника питания.

5.

Каким законом описывается этот процесс охлаждения?

4.6. Повторно-кратковременный режим работы электрического аппарата

Рассмотрим нагрев электрического аппарата при повторнократковременном режиме работы. Пусть он нагружается джоулевой теплотой от источника электрической энергии постоянной мощности в течение времени τ р (рабочий период) и охлаждается за время τП (время паузы в

работе). Допустим, что эти периоды постоянно повторяются (рис. 4.6,а).

79

При одних и тех же мощностях для продолжительного и повторно-

кратковременного режима (PПР = PПК ) максимальная температура аппарата

при повторно-кратковременном режиме

tПК =θПК + tн меньше, чем при

продолжительном – tу =θу + tн <t ПК (рис. 4.6,б).

P

Вт

а)

PД

τ р τП τ р τП τ р τП

τ р τП τ р

τ

0

с

θ

°C

б)

θу

И

θПК

Д

0

А

τ, с

Р

с. 4.6. Граф к нагрузки (а); кривые нагрева (б)

б

Для

установ вшегося

квазистационарного

режима справедлива

формула Ньютона

и

P = kТ Sохлθ .

Поэтому при равенстве коэффициентов теплоотдачи и охлаждающих

С

поверхностей для продолжительного и повторно-кратковременного режимов

с учётом (4.24) при условии,

что начальный перегрев θ(0) =θн = 0 , будет

иметь место соотношение

τ р +τ

−

П

= PПР =

θПР = 1

− e

T

k p

.

(4.26)

−τ р

PПК

θПК

1− e

k p

T

Здесь

отношение

называется

коэффициентом

перегрузки

по

мощности. Он показывает, во сколько раз можно увеличить мощность

источников теплоты электрического аппарата, если перейти от

продолжительного режима его работы к повторно-кратковременному.

80

Материал: 1943

4.5. Продолжительный режим работы электрического аппарата

4.6. Повторно-кратковременный режим работы электрического аппарата

Смотрите также: