Материал: 2
§45. Расстояние от точки до прямой в пространстве
Дано: точка M1(x1;
y1; z1)
и прямая
(
-одна
из точек на прямой L).
(
-направляющий
вектор прямой L)
Расстояние от точки M1
до прямой L(
)
совпадает с высотой (
)
параллелограмма
(см. рис 45.1), которая равна отношению
площади (
)
этого параллелограмма и длины
основания
.
Далее у параграфов 25,26 и 24 (формула
(24.10) имеем (см. также условие 2) векторное
произведение.
|a|
(45.1)
§46. Расстояние между скрещивающимися прямым
Рассмотрим параллелепипед
и
-
направляющие векторы прямых
и
,
а
и
- некоторые из их точек.
(см. рис. 46.1). Параллельные основания
которого
и
проходят через прямые
и
.
Тогда расстояние между
и
(
)
- это расстояние между вышеуказанными
параллельными основаниями данного
параллелепипеда, т.е. его высота (
),
опущенная на основание
,
равна отношению объёма данного
параллелепипеда (
)
к площади основания
(
),
т.е. далее из §25(свойство 2) при определении
векторного произведения, 26, 27 (см. чему
равно абсолютная величина смешанного
произведения), 28, 24(или формулы 21.2))
имеем:
(46.1)
§47. Поверхности второго порядка
47.1Общее и каноническое уравнение поверхностей второго порядка.
Общее уравнение поверхностей второго порядка (т.е. уравнение второго порядка от трех переменных) имеет вид:
(47.1)
С условием
(47.2)
справедлива следующая доказанная в параграфе 53 теорема: существует такой ортонормированный базис, в записи которого уравнение (47.1) имеет вид
(47.3)
с условием
(47.4)
Считаем, что если какая-то переменная отсутствует, то это Z, в противном случае делаем соответствующую замену переменных (или B=G=0), и тогда равенство(47.3) с условием (47.4) станет уравнением (35.13) с условием (35.14) (см. §35). Тогда из §35 получим, что уравнение (35.13) и следовательно, уравнение (47.3) при отсутствии хотя бы одной переменной можно привести к одному из следующих:
(33.4)
(34.1)
(34.3)
(35.21)
(35.30)
(35.32)
(35.31)
(35.23)
(35.20)
Далее положим, что все три переменные в (47.3) присутствуют. Тогда возможны следующие случаи:
I.
II.
B=0
III.
,
Рассмотрим поочередно все эти случаи:
1.
Здесь мы выделим
полный квадрат , где
Обозначим за
Тогда уравнение (47.3) примет вид :
(47.5).
Исследуем уравнение
(47.5).Уравнение (47.5) будем исследовать в
зависимости от знаков коэффициентов
при
.
При этом обратим внимание на следующее:
Замечание:
не ограничивая общности, всегда можно
считать, что при
и
стоят коэффициенты одного знака.(ибо
из трёх чисел А,В и С хотя бы два из них
имеют один и тот же знак и в случае
необходимости, можно считать, что один
знак имеют числа А и B).
Мы вводим такие
числа a,
b
и с(по условию
Сначала рассмотрим
случай
.
Тогда уравнение (47.5) принимает вид:
(47.6)
;
Тогда уравнение (47.6) примет вид
(47.7)
;
;
В этом случае из уравнения (47.6) получим
(47.8)
Этот случай
сводится к предыдущему путём замены
знаков обеих частей уравнения (47.6)
4)
;
-
;
Этот случай сводится к первому заменой
знаков в обеих частях уравнения (47.6)
Пусть теперь
.
Тогда, поделив обе части уравнения
(47.5) на
получим
(47.16)
Исследуем далее
знаки при
в уравнении (47.16). При этом (см. вышестоящее
замечание),
не ограничивая общности, всегда можно
считать, что при
стоят коэффициенты одного знака.
Попутно , мы также определяем величины
a,
b,
c
1)
;
;
;