Материал: 2

В этом случае уравнение (47.16) принимает вид (47.17)

2) ; ; ;

Тогда уравнение (47.16) принимает вид (47.18)

3) ; ; ;

Тогда равенство (47.16) принимает вид (47.19)

Или, поменяв знаки в обеих частях уравнения (47.19), получим

(47.20)

4) ; ; ;

Тогда уравнение (47.16) принимает вид (47.21)

или, поменяв знаки в обеих частях уравнения (47.21) , получаем

(47.22)

II ; ; в равенстве (47.3), тогда уравнение (47.3) принимает вид

Преобразуем последнее равенство, выделяя при x и y полные квадраты

Обозначим далее

Из последнего равенства получаем: , или . Поделив обе части последнего равенства на -2G, получим

(47.23)

Исследуем далее знаки при в равенстве (47.23) При этом если знаки разные, то, поменяв, в случае необходимости, переменные x и y местами, считаем, что коэффициент при положительный. Мы вводим так же величины a и b.

1)

Тогда уравнение (47.23) принимает вид:

(47.24)

2)

В этом случае уравнение (47.23) примет вид:

(47.25)

3)

При таких условиях уравнение (47.23) выглядит следующим образом:

(47.26)

Положив далее , из уравнения (47.26) получим . Поменяв далее знаки в последнем равенстве, из него мы получим уравнение (47.24)

III.

Тогда уравнение (47.3) принимает вид :

(47.27)

В уравнении (47.27) при “y” выделим полный квадрат

(47.28)

Введем новые переменные

(Согласно §48( и §35)), последнее преобразование является поворотом осей координат и на угол по часовой стрелке

Тогда в новой системе координат уравнение (47.28) принимает вид:

, или

(47.29)

Обозначив величину за p введем новые переменные.

Тогда равенство (47.29) в новой системе координат примет вид

(34.3)

(т.е случай III привел нас к уравнению (34.3) и ничего нового не дал).

47.2 Эллипсоид

Определение 47.1 Эллипсоидом называется поверхность, координаты всех точек которой в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению

(47.17)

При этом отрезки [0,a],[0,b] и [0,c] по осям абсцисс, ординат и аппликат называются полуосями эллипсоида, а отрезки [-a,a],[-b,b] и [-c,c] по этим же осям OX, OY и OZ называются его осями.

Эллипсоид -центральная поверхность; для эллипсоида, заданного уравнением (47.17), начало координат является его центром симметрии.

Общий вид эллипсоида изображён на рис.47.1

Рис. 47.1

Рис 47.2

Рис. 47.3

В случае a=b>с в уравнении (47.17) будет сжатый эллипсоид вращения (см.рис 47.2), который получается в результате вращения эллипса вокруг его малой оси, а условие a=b<c в (47.17) задаёт вытянутый эллипсоид вращения (см.рис.47.3), возникающий при вращении эллипса вокруг его большой оси.

Если же a=b=c=R с, то эллипсоид переходит в сферу радиуса R с центром в начале координат.

Общее уравнение сферы радиуса R с центром в точке можно получить как геометрическое место точек , квадрат расстояния от которых до заданной точки есть величина постоянная и равная . Используя далее параграф 21(формула (21.3)), мы получим , что общее уравнение сферы имеет вид

(47.31)

Эллипсоид – ограниченная поверхность (и является единственной ограниченной невырожденной поверхностью второго порядка), ибо уравнению(47.17) могут удовлетворять лишь те значения x, y, z при которых , и . Поэтому в сечении эллипсоида любыми плоскостями можно получить только ограниченные линии второго порядка, которые, согласно параграфу 35 являются

-эллипс (получается в сечении эллипсоида плоскостью, пересекающей, но не касающейся его, как частный случай эллипса может получиться и окружность);

-одна точка (если секущая плоскость касается эллипсоида);

-пустое множество (в случае, когда плоскость не пересекает эллипсоид).

47.3 Гиперболоиды

1. Однополостный гиперболоид

Определение 47.2

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, координаты всех точек которой в некоторой системе координат имеют уравнение

(47.18)

Общий вид однополостного гиперболоида изображён на рис. 47.4

Если мы будем вращать гиперболу вокруг непересекающей её оси симметрии, то получим однополостной гиперболоид вращения (см.рис. 47.5)

Рис. 47.4 Рис. 47.5

В

z

Рис. 47.6 Рис. 47.7

-эллипс (из рис.47.6 видно, что в сечении гиперболоида плоскостью эллипса должна получиться некоторая ограниченная кривая второго порядка, т.е. эллипс;

-гипербола (согласно рис.47.6, в сечении гиперболоида плоскостью гипербола получается разрывная кривая второго порядка, т.е. гипербола;

-парабола (получается в сечении однополостного гиперболоида плоскостью параллельной образующей его ассимтотического конуса; читателю предлагаем самостоятельно из рис.47.6 установить, что тогда в сечение возникает некоторая неограниченная непрерывная кривая второго порядка, т.е. парабола).

В сечении также можно получить и две пересекающихся прямые линии (например, в сечении плоскостью у = b; читателю предлагаем подставить значение у = b в уравнение (47.18) и показать, что в этом случае получится уравнение пересекающихся прямых линий).

Остальные линии второго порядка в сечении однополостного гиперболоида плоскостью получить нельзя.