Материал: 2

Определение 34.5.   Уравнение (34.3) называется каноническим уравнением параболы.

        Свойство 34.2.   Парабола обладает осью симметрии. Если парабола задана каноническим уравнением, то ось симметрии совпадает с осью Ox.

        Доказательство.     Проводится аналогично доказательству свойства 33.1 для эллипса.

Определение 34.6.   Точка пересечения оси симметрии с параболой называется вершиной параболы. Эксцентриситетом параболы (по определению) является число ε=1

Поменяв оси координат местами, уравнение (34.3) можно записать в виде

который совпадает с обычным уравнением параболы в школьном курсе математики. Парабола изображена на рисунке 34.6.

Рис.34.6.Парабола

34.3 Одно свойство фокусов и директрис

Имеет место

Теорема 34.3.   Отношение расстояния от любой точки кривой второго порядка до фокуса к расстоянию от той же точки этой кривой до соответствующей этому фокусу директрисы есть величина постоянная и равная ε- эксцентриситету данной кривой.

Доказательство:

Рассмотрим случай гиперболы:

Ее фокус F₁(c, 0), соответствующая ему директриса d₁: и b²=c²-a² (см. равенство (34.2) и определение эксцентриситета (34.3)) Для любой точки M(x, y), лежащей на на гиперболе (и тогда ее координаты x и y должны удовлетворять уравнению (34.1)) имеем

(34.4)

И , ибо прямая d₁ имеет уравнение , (34.5)

Тогда:

Теорема 34.3 для фокуса и директрисы d₁: доказана. Для фокуса и директрисы d₂: теорема доказывается аналогично.

В случае эллипса доказательство теоремы проводится аналогично гиперболе, а для параболы теорема 34.3 просто является ее определением.

§35. Классификация линий второго порядка.

35.1 Преобразование координат при повороте осей.

Пусть система координат X₁Y₁ получается из осей XY их поворотом на угол α против часовой стрелки. Найдем взаимосвязь между переменными X₁ и Y₁ и переменными X и Y. Для этого используем полярную систему координат (см. рис.35.1, где ρ – расстояние от мочки M(x,y) до начала координат, а φ – угол между осью OX и вектором ).

(35.1)

соответственно (35.2)

Раскрывая в (35.2) косинусы и синусы разности и используя (35.1) получим:

(35.3)

Делая обратное преобразование (или заменяя в равенстве (35.3) “α” на “–α”) получим

(35.4)

35.2 Приведение квадратичной формы второго порядка от двух переменных к каноническому виду.

Определение 35.1 Квадратичной формой второго порядка от двух переменных называется величина

(35.5)

(A,B,C – действительные числа с условием )

Определение35.2 Каноническим видом квадратичной формы Q(x,y) называется величина (35.6)

Имеет место теорема 35.1: существует такой поворот осей (на некоторый угол α) при котором в новой системе координат квадратичная форма Q(x,y) в (35.5) имеет канонический вид. (35.6).

Доказательство: Подставим в уравнение (35.5) вместо (x,y) новые координаты (x₁,y₁) полученные из прежних поворотом осей на угол α. Используя формулу (35.4) имеем:

(35.7)

Найдем в (35.7) коэффициент при x₁y₁:

(35.8)

Чтобы квадратичная форма приняла канонический вид, нужно подобрать такой угол α, при котором коэффициент при x₁y₁ обратился бы в ноль. Т.е., учитывая (35.8) надо решить уравнение или

(35.9).

Можно считать, что B≠0 (при B=0 формула (35.5) уже будет иметь канонический вид (35.6)).

Тогда поделив обе части уравнения (35.9) на ( , ибо в противном случае из (35.9) получилось бы: , что противоречит основному тригонометрическому тождеству), получим

, или (35.10).

Мы показали, что при повороте осей координат на угол α, определяемой формулой (35.10), коэффициент при произведении переменных x₁y₁ обратится в ноль, т.е квадратичная форма (35.5) в новой системе координат примет вид (35.6). Теорема 35.1 доказана.

35.3 Упрощение уравнения второго порядка от двух переменных.

Рассмотрим произвольные уравнения второго порядка от двух переменных

(35.11)

с условием (35.12).

Сделав поворот осей координат на угол α, определяемого формулой (35.10), по теореме 35.1 получим, что в новой системе координат уравнение (35.11) примет вид

(35.13)

с условием (35.14).

Поменяв, в случае необходимости переменные местами, из условия (35.14) можно получить, что C≠0 (35.15)

(ибо если C=0, то тогда из (35.14) следует, что A≠0, и поменяв местами переменные, x и y получим, что коэффициент при y², будет отличен от нуля).

Рассмотрим следующие случаи:

I: AC≠0 (т.е A≠0 при условии (35.15);

II: A=0, D≠0 при этом выполнено условие (35.15)

III: A=D=0

I: AC≠0

Тогда выделим в левой части уравнении (35.13) полный квадрат

(35.16)

Введем новые переменные

(35.17)

Обозначим такие за , уравнение (35.16) приведем к виду или (35.18).

Продолжим исследование:

I.1 F₁=0. Тогда уравнение (35.18) примет вид (35.19).

Рассмотрим далее знаки при x² и y² (попутно мы также вводим новые величины a и b)

I.1 A: ,

Тогда уравнение (35.19) примет вид

(35.20)

I.1.Б

В этом случае уравнение (35.19) выглядит следующим образом

(35.21)

I.1.В A<0; C>0

Тогда, поменяв знаки в обеих частях уравнения (35.19) получим случай I.1.Б.

I.1.Г A<0; C<0

Поменяв в этом случаи знаки в обеих частях уравнения (35.19), мы придем к условию I.1.А.

I.2 F₁≠0

Поделив тогда обе части уравнения (35.18) на F₁, мы получим равенство:

(35.22)

Снова рассмотрим знаки при x² и y² (определяя также коэффициенты a и b).

I.2.А

Тогда уравнение (35.22) примет вид

(33.4) (это уравнение нам встречалось раннее в §33)

I.2.Б ; (т.е коэффициент при x² положительный, а при y² отрицательный).