Материал: 2411
Омский государственный технический университет
Исследование инвариантов пространственных кривых имеет практическое значение при распознавании образов [7]. В работе [6] рассматриваются инварианты векторных полей, определяемых интегральными кривыми динамических систем, по отношению к действию специальной аффинной группы преобразований SA n , которое
формируется действием специальной линейной группы SL n и действием группы переносов T n в пространстве Rn ; инварианты формируются на основе построения форм Маурера Картана [3]. Однако эти инварианты корректны в случае, когда действие элементов группы SA n одинаково
для любой точки кривой. В настоящей работе предлагается формирование топологических инвариантов пространственной кривой (и соответствующих векторных полей) для случая, когда действие элементов группы SA n различно в различных точках кривой.
Для |
кривой |
c(s): [0,s] Rn |
c(s) c |
(s), ,c (s) T |
; |
||
det c', c'', |
|
c(n) 0; |
|
|
1 |
n |
|
, |
сформируем матрицу |
αc: [0,s] SL(n); |
|||||
1
αc det c', ,c(n) n c', ,c(n) [4, 6, 7, 8]. Матрица αc инвариантна по
отношению к действию элементов специальной аффинной группы, если элементы группы SA n одинаковы в каждой точке кривой. Если параметризовать кривую специальной аффинной длиной дуги
[4, 6, 7, 8]:
s |
2 |
|
n(n 1)du, то после любых специальных |
||
det c'(u), ,c(n)(u) |
||
0 |
|
аффинных преобразований кривая снова будет параметризована той же специальной аффинной длиной дуги . Для кривой, параметризованной
длиной дуги , можно |
определить специальные аффинные кривизны: |
|
1 det c'',c''', ,c(n 1) ; |
2 det c',c''', ,c(n 1) ;по кривизнам |
1, 2, , n 1 |
получим уравнение |
кривой, параметризованной , |
в форме |
Маурера Картана [4, 6]: |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
( 1) |
n 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
0 |
0 |
( 1)n 2 2 |
|
|||
αс1α'c |
|
|
|
A. |
(1) |
||||
|
|
|
0 |
0 |
n 1 |
|
|
||
|
0 |
|
|
||||||
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение уравнений при i const;i 1, ,n 1;A const может быть представлено в форме: αc αc 0 eA , где eA экспонента матрицы:
n
eA A .
n 0 n!
Если существует зависимость матрицы A от длины дуги : A( ) , то решение может быть представлено в форме [1, 2, 5]:
|
|
|
|
|
αc αc 0 exp A s ds |
|
(2) |
||
|
0 |
|
|
|
где используется интегральное произведение: |
|
|
||
|
lim |
n |
|
(3) |
exp A s ds |
exp A sk sk |
|||
0 |
max sk 0 |
k 1 |
|
|
и sk sk sk 1;s0 0;sn .
Рассмотрим действие |
элемента группы g SA(n) SL(n)| Rn; |
|||||||||||||
g:x Ax a;x Rn;A SL n ;a Tn на элементы матрицы αc |
[3, 7]: |
|||||||||||||
αc g |
α |
c;g g ;det |
α |
c 0. |
(4) |
|||||||||
После преобразования (1) получим выражение: g |
α |
c 1 g |
α |
c ' A или |
||||||||||
|
|
c 1 |
|
c' |
|
|
( ) g 1Ag g 1g' . |
(5) |
||||||
α |
α |
A |
||||||||||||
Имеем следующее решение уравнения (5) (см. соотношение (2)) по отношению к αc :
αc ( ) αc 0 exp A s ds αc 0 exp g 1 s A s g s g 1 s g' s ds
0 0
|
|
|
1 |
|
|
(6) |
|
α |
c 0 g |
exp A s ds g 0 . |
|
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Доказательство правила подобия, используемого в (6), приведено в |
||||
приложении. |
|
|
|
|||
|
|
Если |
g( ) g(0) |
(что выполняется |
для замкнутых кривых), то |
|
выражение |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
W Tr g 0 |
|
exp A s ds g 0 Tr exp A s ds |
||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
||
не будет зависеть от g, то есть W будет топологическим инвариантом. |
|
||||||||||||
Пример. Рассмотрим окружность: c( ) sin ,cos T |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
sin |
|
|
|
(8) |
||
|
|
|
|
|
|
αc( ) |
sin |
cos |
; |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 1; |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
αс1αc' A |
1 |
|
. Действие группы: |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
a b sin |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
g( ) |
0 |
|
|
|
|
SL(2);a b |
|
|
|||||
|
|
|
|
a b sin |
|
|
|
|
|
||||
на вышеупомянутую окружность приводит к изменению формы Маурера Картана:
|
|
|
|
|
|
b a b sin 1 cos |
1 |
|
|
|
|||||
|
α |
с1 |
α |
'c |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
(9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
b a b sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
||
|
Определение матрицы |
α |
c ( ) |
при условии 2 n;n Z приводит к |
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
c 2 n |
0 |
|
, то есть матрица |
инвариантна по |
отношению |
к |
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
действию группы.
Заключение. В работе рассматривались матрицы, построенные дифференцированием параметризованной кривой. Если в каждой точке кривой сформировать репер Френе Серре, то аналогичный алгоритм позволяет найти топологические инварианты кривой относительно действия группы SO n .
Приложение. Доказательство правила подобия [1, 2].
exp g 1 s A
0
Док-во: Пусть
s g s g 1 |
s g' s ds g |
1 |
|
|
|
|
|||||
|
exp A s ds g 0 . (10) |
||||
|
|
|
|
0 |
|
: Q exp A s ds ;Q 0 I;Q' s Q 1 s A s .
0
Тогда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
' |
|
1 |
|
g |
|
|
|
0 g |
|
|
Q g 0 |
Q 0 |
|
|
exp g |
|
Q g |
Q |
|
s ds |
|||
1 |
|
exp A s ds g |
1 |
|
|
1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
(11) |
|
|
|
|
|
Q'Q 1 |
|
|
|
|
s A s g s g 1g' ds . |
|
||||||||
exp g 1 ' g 1 1 |
g 1 |
g ds exp g 1 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
(11) |
использовались |
тождества: |
g 1 ' g 1 1 |
g 1g'; |
g 1Q ' g 1Q 1 g 1 ' g 1 1 g 1 QQ' 1 .
Научныйруководитель– ЧукановС.Н.,д-ртехн.наук,проф.
Библиографический список
1.Cartier P. Functional Integration: Action and Symmetries/ P. Cartier, C. DeWittMorette. Cambridge University Press, 2006.
2.Dollard J.D. Product Integration with Applications to Differential Equations/ J.D. Dollard, C.N. Friedman. Addison-Wesley, 1979.
3.Fels M. Moving coframes. I : A practical algorithm/ M. Fels, P.J. Olver // Acta Appl.Math. Math. 51, 1998. P.161-213.
4.Guggenheimer H. Differential Geometry, Dover Publ/ H. Guggenheimer. New York, 1977.
5.Karp R. Product Integral Formalism and Non-Abelian Stokes Theorem/ R. Karp, F. Mansouri, J. Rno. arXiv:hep-th/9910173/
6.Nadjafikhah M. Affine Classification of n-Curves/ M. Nadjafikhah, Sh.Al. Mahdipour . arXiv.org: math.DG/0710.2662/
7.Olver P.J. Differential invariant signatures and flows in computer vision: A symmetry group approach. In Geometry-Driven Diffusion in Computer Vision, B.M.Ter Haar Romeny (Ed.)/ P.J. Olver, G. Sapiro, A. Tannenbaum. Kluwer Acad. Publ. Dordrecht, Netherlands, 1994. P. 255 306.
8.Spivak M. A Differential Geometry/ M. Spivak. Publish or Perish, Berkeley, 1979.
Vol. 1 5.
УДК 004.65:544.6:621.643.053
К ВОПРОСУ РАЗРАБОТКИ АВТОМАТИЗИРОВАННОЙ ИНФОРМАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ УЧЕТА РЕЗУЛЬТАТОВ ДИАГНОСТИКИ ТЕКУЩЕГО СОСТОЯНИЯ ТРУБОПРОВОДОВ
В.С. Нестерова, студентка Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия
Трубопроводы являются стратегическим объектом страны. Россия обладает развитой сетью трубопроводного транспорта природного газа, нефти и продуктов их переработки. Она включает в себя уникальную по протяженности и производительности систему. Возрастной состав и повышенные требования к экологической безопасности объектов нефтепроводного транспорта обусловливают необходимость обеспечения надежной, безотказной работы и предупреждения аварий нефтепроводной системы. Трубопроводы подвергаются интенсивному воздействию как внешних факторов, так и воздействию перекачиваемой жидкости, в результате чего в материале труб происходят различные физические и физикохимические процессы, основными из которых являются коррозия и износ. В связи с этим задача диагностики и периодического контроля их состояния является актуальной [3].
В настоящее время внутритрубная дефектоскопия (ВТД) наиболее достоверный и информативный способ. Однако, позволяя своевременно увидеть критические и закритические дефекты, ВТД не дает информации о причинах их образования и необходимых мероприятиях по недопущению их в будущем. Кроме того, часть старых трубопроводов по техническим причинам не может быть обследована методами ВТД. Поэтому для таких трубопроводов электрометрия остается основным методом диагностического обследования, а работы по совмещению накопленных данных становятся всё более актуальными [2].
Общий коррозионный износ является одним из наиболее часто встречающихся типов дефектов трубопроводного транспорта. Оценка состояния трубопроводов с общим коррозионным износом и средств электрохимзащиты представляет собой длительный и трудоемкий процесс. Алгоритм проведения такого рода оценки является неизменным и включает в себя определенную последовательность действий:
сбор данных об исследуемом участке (условия эксплуатации, характеристики материала, свойства грунта, установки средств электрохимзащиты);
измерение характеристик выявленного общего коррозионного износа;
приведение исходных данных к формализованному виду;
проведение математических расчетов;
комплексный анализ результатов расчетов;
формирование технического отчета по проведенному обследованию.
Вся деятельность по комплексной диагностике трубопроводов это трудоемкий и длительный процесс. В связи с этим появились проблемы ввода и обработки больших массивов данных, которые занимают до 50 таблиц и 10 тысяч записей для одного участка трубопровода.
Этап, на котором происходят математические расчеты, является наиболее проблемным. Это связано с тем, что при проведении расчетов «вручную» велика вероятность возникновения ошибки. Действия,