Материал: 2411

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

необходимо разработать эффективную шкалу оценки, показывающую текущее состояние операционной системы и сервера в целом [1].

В заключение хотелось бы отметить, что в трудах авторов, изучающих оценку unix-подобных операционных систем, не находит своего отражения проблема разработки комплексных решений для мониторинга серверных систем управления процессами.

Научныйруководитель–ПоповаО.А.,канд.техн.наук,доц.

Библиографический список

1.Стахнов А.А. Linux/ А.А. Стахнов: 3-е изд., перераб. и доп. - СПб.: БХВПетербург, 2009. 1056 с.: ил. (В подлиннике).

2.Колисниченко Д.Н. Серверное применение Linux/ Д.Н. Колисниченко: 2-е изд.,

перераб. и доп. СПб.: БХВ-Петербург, 2009. 528 с.: ил. - (Системный администратор)

3.Адельштайн Т., Любанович Б. Системное администрирование в Linux/ Т.

Адельштайн, Б. Любанович. СПб.: Питер,2010. 288 с.: ил. (Серия "Бестселлеры

O'Reilly").

4. Родригес К.З., Фишер Г., Смолски С. Linux: азбука ядра/ К.З. Родригес, Г.

Фишер, С. Смолски: пер. с англ. М.: КУДИЦ-ПРЕСС, 2007. 584 с.

УДК 519.2

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ИГР ДЛЯ ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

А. А. Коблик, аспирант Сибирская автомобильно-дорожная академия

Пусть существует пара ( ,J), где конечномерная СУ c функционалом качества:

tf

J(x,u) (x(tf

)) (t,x(t),u(t))dt .

(1)

 

t0

 

Поставим задачу нахождения такого управления u* U , что для

траектории вектора состояния

функционал J(x,u) min. Пара

( ,J)

называется линейной квадратичной оптимальной СУ, если

 

J x,u x

 

 

tf

 

 

 

 

 

T

(tf )Kf

 

T

(t)Q(t)x(t) u

T

(t)R(t)u(t)

 

 

x(tf ) x

 

 

dt;

 

 

 

t0

 

 

 

 

(2)

R RT 0;Q QT

0; t T.

 

 

 

 

Введем функцию Беллмана стоимости системы:

tf

V t,x inf ,xˆ(

u U;xˆ s(t, ,x,u) t

),u( ) d xˆ(tf ) . (3)

Управление u* U является оптимальным для x(t

) x если и только

 

 

 

 

 

 

0

0

если J(x*,u*) V(t

,x ). Уравнение

Hamilton Jacobi Bellman (HJB) для

0

0

 

 

 

 

 

 

оптимальной СУ ( ,J) с функцией стоимости V(t,x) имеет вид

dV t,x*(t)

 

 

*

*

(t) 0,

(4)

 

 

dt

t,x

(t),u

 

 

 

 

 

 

 

где u* оптимальное управление;

x* оптимальная траектория вектора

состояния.

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение Риккати (RDE) для линейной квадратичной СУ с R t 0;

Q t 0:

.

Е AT t E KA t Q t ES t E;S t B t R 1 t BT t .

(5)

Если RDE

допускает такое решение E, что

E tf Kf

, то

оптимальное управление обратной связи:

 

 

 

u* t R 1 t BT t E t x t .

 

(6)

Рассмотрим

пример «черного ящика» с двумя

входами

u1,u2 .

Предположим, что игроки, формирующие управления u1,u2 , не общаются во время игры и, следовательно, стратегия первого не известна второму и наоборот. Как определить оптимальные стратегии? Первый прямой путь: игрок 1 выбрал u10 , игрок 2 u20 : система примет u10,u20 и игроки получают более высокие затраты, чем ожидали. Игрок 2 думает: «Если бы я использовал u2* u10 , то я получил бы меньше затрат, потому что у игрока 1

нет информации относительно выбора игрока 2 и он не может изменить свой выбор». Игрок 2 не сожалеет об его решении, если и только если он

выбирает стратегию, которая обеспечивает

J2 u1,u2

0 curve u* u

,

 

 

 

u2

2

1

 

где J2 u1,u2

 

 

 

 

функционал качества игрока 2.

Если отсутствует

коммуникация между игроками, то игрок 1 также выбирает стратегию на

линии

J1 u1,u2

0 curve u* u

2

, где

J

1

u ,u

2

 

функционал качества

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u1

 

 

 

 

 

кривых u* u

 

и u* u

 

.

игрока

1. Nash равновесие –

пересечение

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

1

 

Предположим теперь, что у игроков есть другое правило: первый игрок выбирает закон управления и объявляет об этом второму игроку; второй игрок выбирает управление, используя это знание u2* u1 . Игрок 1 знает,

что, если он выбирает u1, игрок 2 будет играть u2* u1 и игрок 1 выберет

управление, для которого J1 u1,u2* u1 0: он находит оптимум там, где

u1

кривая u2* u1 касается линии уровня J1; получим Stackelberg равновесие.

Рассмотрим теперь игру N игроков с функциями f t,x,u1,...,uN ,

непрерывными по t,x,u1,...,uN . Тогда существует единственное решение

DE [1]:

 

(7)

x t f t,x t ,u1 t ,...,uN t ;

с функциями f t,x,u1,...,uN непрерывными по t,x,u1,...,uN .

 

Игра N игроков на конечном интервале времени с функциями:

 

N

 

f t,x,u1,...,uN A t x Bi t ui;

(8)

i 1

A t Rn n;Bi t Rn mi ;i 1,...,N

и функционалами качества:

Ji u1,...,uN xT tf Kif x tf

tf

 

N

 

 

xT t Qi t x t uTj

t Rij t uj t dt;

(9)

t0

 

j 1

 

 

Q t Rn n

;R

t Rmj mj

 

 

i

ij

 

 

 

является линейной квадратичной дифференциальной игрой N игроков. Построим уравнения Гамильтона–Понтрягина для дифференциальной

игры N игроков в соответствии с принципом максимума:

Hi

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

Hi

 

 

 

T

 

 

x

 

i

;

(10)

 

 

 

 

 

 

Hi

 

 

0;

 

 

 

 

 

ui

 

 

 

 

u u*

 

 

 

 

 

 

i

i

 

 

 

 

Ji*

 

 

 

T

tf ; i 1,...,N;

 

i

x tf

где Hi t,x,ui, i – функция Гамильтона i-го игрока:

N

Hi t,x,ui, i xTQi t x uiT Rii t ui u*jT Rij t u*j

j 1 j i

 

 

N

 

T

*

 

i

A t x Bi t ui

Bj t uj .

 

 

j 1

 

 

 

j i

 

Откуда

Hi

 

 

 

 

N

 

 

*

 

 

 

 

 

N

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

T

T

 

 

*T

 

uj

 

 

 

uj

 

 

x Qi t uj

Rij t

 

 

 

 

 

A t Bj t

 

x

i

x

i

x

 

 

 

 

j 1

 

 

 

 

 

 

j 1

 

 

 

 

Hi

j i

 

 

 

 

 

 

 

 

j i

 

 

 

 

 

uT R

t T B

t

 

 

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

ii

 

i i

 

 

u u*

 

 

 

 

 

 

ui

 

 

 

 

 

 

i

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При Rii t 0 получим требуемые оптимальные управления:

(11)

; (12)

u* t R 1

t BT t t .

(13)

i

ii

i

i

 

Пример дифференциальной игры для двух игроков [2]. Рассмотрим

нелинейную управляемую систему:

 

 

dx / dt f x g1 x w g2 x u; f 0 0

(14)

и целевую функцию:

infsupJ u, w ;

u w

 

(15)

J(u,w) q(x) uTu wTw dt.

 

0

 

Достаточное условие для формирования оптимального управления – существование такой неотрицательной функции V t,x , что выполняется уравнение HJB:

0 minmax Vx f x g1 x w g2 x u q x uTu wTw

u

w

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u 0,5 g TV T

 

 

 

2

 

 

 

w 0,5 g TV T

 

 

 

2

V f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

 

 

 

 

x

 

minmax

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

g g

T g

g T

V T q

 

 

 

 

 

u

w

0,5 V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1 1

2

2

x

 

 

 

 

 

 

Оптимальное управление достигается при:

u* 0,5 g2TVxT;

w* 0,5 g1TVxT;

при этом уравнение HJB:

Vx f 0,25 Vx(g1g1T g2g2T )VxT q 0.

Для линейной системы:

dx / dt Ax Bx; q xTQx; V xTx;

уравнение HJB преобразуется к уравнению Риккати:

A AT BBT Q 0; A 12 Q BBT S ,

где S – кососимметрическая матрица.

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

Научныйруководитель– ЧукановС.Н.,д-ртехн.наук,проф.

Библиографический список

1.Basar T., Bernhard P. H -optimal control and related mini-max problems/ T. Basar, P. Bernhard. Berlin: Birkhauser, 1991.

2.Doyle J., Primbs J., Shapiro B., Nevistic C. Nonlinear Games: examples and counterexamples // Decision and Control/ J. Doyle, J. Primbs, B. Shapir, C. Nevistic:

Proceedings of the 35th IEEE, 1996. vol.4. P. 3915-3920.

УДК 514.74

ФОРМИРОВАНИЕ ИНВАРИАНТОВ ПРИ ВИЗУАЛИЗАЦИИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ КРИВЫМИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Д. В. Ульянов, аспирант

Источник: https://studfile.net/preview/16408468/

Смотрите также:

Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_-___-~1
_1-тема-СтрМетал
_10_Эмиль Золя для эл версии