Материал: 2492

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

i j = i k = j k = 0, т. к. i j k ; i i = i 2 =12 =1; j j =1; k k =1.

Примеры.

1. Найти скалярное произведение векторов

a = 3i

+ 4 j + 7 k и b = 2i − 5 j + 2 k .

Решение.

Находим

= 3 2 + 4 (− 5)+ 7 2 = 0 .

Так как

скалярное

произведение векторов a

= 0; a ≠ 0;

≠ 0, то a

. Векторы a и

ортогональны.

2. Даны векторы a = mi

+ 3 j + 4k и b = 4i

+ m j − 7k . При каком

значении

m эти векторы перпендикулярны?

Решение.

Находим

скалярное произведение

этих

векторов:

a b = 4m + 3m − 28 = 0. Так как a

, то a

= 0. Отсюда 7 m − 28 = 0 ,

m = 4 .

3. Найти

(5 a + 3

)(2 a −

), если

= 2;

= 3; a

Решение. (5 a + 3

)(2 a −

)= 10 a 2

− 5 a

+ 6 a

− 3

2 =

= 10 a 2 + a

− 3

= 10 22 + 0 − 3 32 = 40 − 27 = 13.

a b

0 при a b.

Здесь использованыбсвойства a 2

= a 2 = 22 ; a b =

4. Определить угол между векторами

a = i

+ 2 j + 3k и b = 6i + 4 j − 2 k.

Решение. Так как a

cosϕ , то cosϕ =

Имеем

= 1 6 + 2 4 + 3 (− 2) = 8;

= 2

1 + 4 + 9

14;

36 +16 + 4

14;

cosϕ =

= 2 и ϕ = arccos

2 .

2 14

14 2

5. Дана сила F{− 5, −1, − 4 } , точки A(− 2,3,6) и B(1,5, − 3). Ка-

кую работу производит сила F , когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из точки А в точку В?

Решение. Работа силы равна скалярному произведению вектора силы F на вектор перемещения AB = {1+ 2; 5 − 3; − 3 − 6}= {3; 2; − 9}. Находим работу:

А= F AB = −5 3 + (−1) 2 + (−4) (−9) = −15 − 2 + 36 = 19 .

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти скалярное произведение векторов

3a − 2b и 5 a − 6b ,

если

a = 3i

+ 4 j + 5k и b = 4i + 5 j − 3k .

3. При каком значении m векторы a = mi + j и b = 3i − 3 j + 4k

перпендикулярны

иб

2a + 3b + 4c и 5a + 6b + 7c ,

если

= 1;

= 2;

= 3; (a,

(a,c )(

,c )= π .

+ 2

+ 3 j + 2k . Найти Прa b

5. Даны векторы a = 2i

= 6i

и Пр

a .

F{3;1, − 4 };

A(2,0,1); B(1, 4, − 2).

6. Дана сила F , точки А и В:

Какую работу производит сила F , когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из точки А в точку В?

Ответы:

1.336 .

2.arccos 17 .

3.1.

4.547.

5.203 и 207 .

6.13.

Вопросы и задания для самопроверки [1,2,3,4,6]

1.Определите скалярное произведение векторов.

2.Как выглядит критерий перпендикулярности векторов?

3.Напишите формулу для вычисления через координаты скалярного произведения векторов.

4.Каков геометрический смысл скалярного произведения?

5.Чему равно скалярное произведениеИj k ?

6.Что называется скалярным произведением n-мерных векторов? ДА

c = a × b (c = [a,b]) (см. прил. 4), удовлетворяющий условиям:

1) c

= a

b sin (a,b) − дл на векторного произведения;

2) с

− вектор

с перпендикулярен плоскости векторов

a и

;

с = a ×

x	0	y
x

а	б
	Рис. 12

3) с расположен по отношению к векторам a и b так же, как

ось OZ к осям OX и OY (рис. 12).

Направление вектора с определяется правилом буравчика (правого винта).

Свойства:

a × b = −(b × a ) (антикоммутативность);

(α a )× (β b)= α β (a × b) (сочетательность); a × (b + c )= a × b + a × c (дистрибутивность).

Критерий коллинеарности

a ||

a ×

= 0 .

Замечание. Если известны координатыИвекторов, то для провер-

ки их коллинеарности можно проверить пропорциональность коорди-

нат.

Пример. Известны координаты векторов:

a = (3;1; 4);

= (6; 2; 8); c = (6; 3; 8).

Так как

= 1 = 4

, то a ||

;

≠ 1 ≠

4 , то

a || c .

2и8

Теорема (геометрический смысл векторного произведения).

Пусть a и b имеют общее начало. Тогда длина векторного произведения векторов равна площади параллелограмма, построенного

на a и b .

Доказательство.

Вспомним формулу площади параллелограмма (рис. 13):

Sпар = a b sin (a,b).

Рис. 13

Заметим, что по определению векторного проиведения

a × b = a b sin (a,b), т. е. Sпар = a × b .

Основное использование

Sпар =

a ×

S∆ = 1

a ×

Теорема (выражение векторного произведения векторов че-

рез их координаты).

Пусть a = (x1, y1, z1 ) и

= (x2 , y2 , z2 ). Тогда

a ×

x2 y2

Доказательство.

Составим таблицу векторных произведений базисных векторов:

× i = 0 ;

× j = k ;

i × k = − j ;

= −

;

× i

= i

;

× i

= −i

Для запоминания таблицы удобна «шпаргалка»:

i j k i

−

(рис. 14).

Источник: https://studfile.net/preview/16408549/

Смотрите также:

DLP-системы
Государственная поддержка сельскохозяйственного производства на региональном уровне с учетом требований ВТО
Дело 01-0062_2019. Приговор. документ - обезличенная копия
МПС3
Направления развития инновационно-инертных регионов
Расстановка скобок в арифметическом выражении
Системы коммутации
Теоретические аспекты контроллинга
Шум и средства защиты от него