Материал: 2492

Примеры.

+ 30 j − 60 k

и его направляю-

1. Найти длину вектора a = 20i

щие косинусы.

Решение. Найдем длину a :

a

=

202 + 302 + 602

=

= 70.

4900

Найдём орт a : a o =

a

= 20 i

+ 30

−

60

=

2 i

+ 3

− 6

.

j

k

j

k

a

70

70

И

7

7

70

7

Координаты вектора

a o равны направляющим косинусам, по-

этому cosα = 2 ;

cos β = 3 ;

Д

cosγ = − 6 .

7

7

7

А

2. Найти вектор a =

AB

, если

A(1, 3, 2) и B(5, 8, −1).

= {5 −1;8 − 3; −1 − 2}= {4; 5; − 3}

AB

AB

+ 5 j − 3k .

= 4i

б

Вопросы задан я для самопроверки [1,2,3,6]

1.

и

Какая система векторов называется линейно независимой?

2.

Какие векторы называются компланарными?

3.

Что такоеСбазис на плоскости и в пространстве?

4.

Дайте определение стандартного базиса на плоскости и в про-

странстве.

5.

Что такое координаты вектора?

6.

Сформулируйте критерий линейной зависимости системы

векторов.

7.

Каково наибольшее количество линейно независимых векто-

ров на плоскости?

8.

Каково наибольшее количество линейно независимых векто-

Если

а = (x,

y, z),

то координаты орта находятся по формуле

(рис. 11)

И

x

y

z

а

о =

Д

.

x

2

+ y

2

+ z

2

x

2

+ y

2

+ z

2

x

2

+ y

2

+ z

2

А

0

x

б

a

x

и

α

С

Рис. 11

Направляющие косинусы

вектора

a

−

это

косинусы углов

α, β, γ , которые вектор a образует с осями координат.

= cos (a, Ox);

cosα

= cos (a, Oy);

cos β

cosγ

= cos (a, Oz).

x

y

z

cosα =

;cos β =

;cosγ =

.

x2 + y2 + z2

x2 + y2 + z2

x2 + y2 + z2

Поэтому a o =

a

=

3

4

−

12

.

И

j

k

i

+

a

13

13

13

Д

Задачи для самостоятельного решения

1.

Даны

координаты

вершин

треугольника

A(1, 2, 3); B(3, 2, 1); C(1, 4, 1). Показать, что треугольник равносторон-

ний.

и

А

С

2.

Вычислить модульбвектора

a = i

+ 2

j

+

k

− 1 (4i

+ 8

j

+ 3

k

) и

найти его направляющие косинусы.

5

3.

Даны точки M1(1, 2, 3) и M 2 (3, − 4, 6). Найти длину и направ-

ление вектора

.

M1M

2

4.

a

Дан вектор

a = 4

− 2

+ 3

.

Найти вектор b ,

если

=

,

i

j

k

b

2.

a

=

3

; cosα =

1

; cos β = cosγ =

2 .

5

3

6

3

3. 7; cosα =

2

; cos

β = −

; cosγ =

3 .

7

7

7

ется число, равное

С

а

=

a

cos(a,

),

b

b

b

или

a

=

a

(проекция

на a )=

Пр

a =

a

Прa

.

b

b

b

b

b

Свойства:

a

a

= 0 .

b

b

Основное использование:

1. a a =

a

2 ;

a

=

− нахождение длины вектора.

a a

a b

2. cos(a,

)=

− нахождение угла между векторами.

b

a

b

И

Теорема (вычисление скалярного произведения).

Если a = (x , y , z

) и b = (x

2

,

y

Д, z ) − два вектора, то их скаляр-

1

1

1

2

2

ное произведение находится по формуле

А

+ z1 z2 .

a b = x1 x2 + y1 y2

Доказательство.

б

и

Запишем векторы a , b в виде линейной комбинации базисных:

a

+ y1

+ z1

,

j

k

b

= x1i

= x2 i

+ y2 j + z2 k .

Тогда

С