Материал: 3780

когда уравнение (2.1) линейно относительно коэффициентов b. В этом случае функцию (2.1) можно записать в виде:

где xi - известные заранее значения контролируемых факторов. В формулу (2.5) для симметрии введена величина x0i , она всегда равна 1, то есть b0 x0 b0 .

Поэтому x0 называют фиктивной переменной. Для рассматриваемого случая матрица Х имеет вид:

7

где верхний индекс T обозначает транспонирование матрицы, а верхний индекс -1 есть символ обращения матрицы; B - вектор искомых параметров b.

Для нахождения коэффициентов b по формуле (2.7) необходимо, чтобы число опытных точек n было не меньше числа рассчитываемых параметров. Иначе число степеней свободы, равное разности между числом точек и числом параметров, окажется отрицательным, а расчет невозможным. Матрица X T X в уравнении (2.7) - квадратная. Это значит, что если определитель этой матрицы не равен нулю, то имеется единственное решение уравнения (2.7), т.е. единственный набор коэффициентов. В случае, когда этот определитель равен нулю, матрица вырождена, и система имеет бесконечно много решений, тогда по данным опытным точкам нельзя однозначно определить параметры модели. Вырождение матрицы связано с взаимной корреляцией факторов. Исключения корреляции факторов добиваются специальным выбором опытных точек, что реализовано в ортогональных планах экспериментов.

2.2. Методика планирования эксперимента для построения математических моделей в виде линейных уравнений регрессии

Идея планирования эксперимента - предусмотреть изменение всех влияющих факторов в опытах так, чтобы обеспечить максимум точности и минимум корреляции.

Для построения математических моделей в виде полиномов 1-й степени (линейных уравнений регрессии) служат многофакторные ортогональные планы 1-го порядка. Наиболее распространен следующий порядок построения планов. Выбирается центр исследуемой области (центр плана), то есть значения регулируемых факторов ui0 в центре факторного пространства. В центр плана переносится начало координат. Затем выбирается интервал варьирования по каждому фактору i - расстояние по данной оси в факторном пространстве до экспериментальной точки. Выбор центра плана и интервала варьирования лежит вне математической теории. Этот этап задачи решается экспериментатором на основе знания исследуемых процессов. В последующих экспериментах наибольшее значение каждого из факторов (верхний уровень) равно ui0 + i , а наименьшее (нижний уровень) равно ui0- i .

9

2k

xij yi

где k - число факторов.

Простота расчета коэффициентов b методом наименьших квадратов для ПФЭ на двух уровнях обусловлена ортогональностью матрицы планирования. Это означает, что все векторы (столбцы матрицы) удовлетворяют соотношению:

Сам план также называют ортогональным.

Простота расчета для ортогонального плана является заметным преимуществом, но не очень существенным в связи с широким применением ЭВМ. Важно следующее: ортогональность двух столбцов означает полное отсутствие корреляции соответствующих факторов. Следовательно, и оценки параметров оказываются некоррелированными. Некоррелированность позволяет легко проверить гипотезу о значимости факторов, а если какой-либо член окажется незначимым, то он просто исключается из уравнения, и это никак не сказывается на величине остальных параметров.

2.3. Методика проверки гипотез в планированном эксперименте

Интерпретация результатов эксперимента обычно проводится в терминах проверки гипотез. Обычно проверяются следующие гипотезы:

1)об однородности оценок дисперсий, полученных для разных строк матрицы планирования;

2)о значимости коэффициентов регрессии;

3)об адекватности уравнения.

Однородность оценок дисперсий проверяют потому, что могут быть случаи, когда в разных частях пространства факторов точность опытов разная. В случае неоднородных дисперсий вся дальнейшая обработка окажется некорректной. Для возможности проверки гипотезы однородности оценок

10

дисперсий предусматривается проведение параллельных опытов, то есть получение в каждой точке плана эксперимента нескольких значений откликов.

Для сравнения ряда дисперсий известно несколько критериев. Наиболее прост критерий Кокрена G. Однако пользоваться им можно, только если все дисперсии S 2j рассчитаны по одному и тому же числу степеней свободы, то

есть количество параллельных опытов для каждой строки матрицы эксперимента должно быть одинаковым.

Критерий равен отношению наибольшей из дисперсий к сумме их всех;

G max , (2.12)

S 2

n

S 2j

j 1

где дисперсии S 2j определяется по формуле

m - число параллельных опытов в серии, n - число серий.

Критическое значение Gкр зависит от числа степеней свободы f при оценке каждой из S 2j (f = m - 1), от числа дисперсий n и от уровня значимости

а число степеней свободы при этом составит