Материал: 3780

16

оптимизации методом неопределенных множителей Лагранжа. Заметим, что ограничения-равенства в задаче оптимизации означают, что область допустимых значений представляет собой границу той области, которая бы была задана неравенствами. Часто из анализа характера целевой функции становится ясно, что внутри области допустимых значений, задаваемой ограничениями-неравенствами, целевая функция не имеет локальных экстремумов и, следовательно, ее экстремальное значение будет находиться на границе этой области. Таким образом, во многих случаях, предварительный анализ характера целевой функции позволяет заменить ограничениянеравенства на ограничения-равенства в модели оптимизационной задачи. Если же целевая функция имеет экстремумы внутри области допустимых значений, то задача, по сути, является задачей безусловной оптимизации и может быть решена классическими методами исследования функций на максимум-минимум.

Пусть в общем случае заданы целевая функция W ( x) и m ограничений равенств f j ( x) a j . Тогда можно введением новой вспомогательной функции

G свести задачу на условный экстремум к задаче на безусловный экстремум (без ограничений). Эта функция формируется в следующем виде:

j 1

Здесь величины j , (j=1,...,m) называются неопределенными множителями

Лагранжа и выступают как новые независимые переменные наравне с xi, (i = 1,

..., n). Взяв производные

и приравняв их к нулю, получим систему из n + m уравнений. Ее можно решить либо аналитически, либо численно. В точке условного экстремума x * будем иметь G( x* , * ) W ( x* ) .

17

3. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ КУРСОВОЙ РАБОТЫ

Рассмотрим задачу моделирования и оптимизации процесса резания древесины. К процессам резания мы отнесем точение, сверление, пиление, фрезерование, шлифование и др. операции. Этот вопрос в течение длительного времени исследовался Ф.Р. Фергиным. Им было выведено эмпирическое уравнение для себестоимости обработки 1 погонного метра заготовки, которое имеет вид:

где V1 - скорость подачи заготовки (величина посылки), измеряемая в мм; V2 - стойкость режущего инструмента, км;

A и B - коэффициенты, зависящие от затрат, соответственно первой и второй статьи.

К первой статье затрат относятся затраты на оплату труда рабочих, техническое обслуживание станка, электроэнергию. Ко второй статье затрат относятся затраты на замену режущего инструмента, его переточку, здесь же учитываются простои станка в период смены инструмента. Коэффициенты А и В определяются методом математического моделирования по результатам экспериментов.

Уравнение (3.1) может быть переписано в следующем виде:

тогда нетрудно установить, что диапазон изменения факторов u1 и u2 определяются неравенствами:

Значения u10 = (0,8 + 5)/2 = 2,9 и u20 = (0,08 + 2,5)/2 = 1,29 естественно принять за центр плана, а отклонения от этих значений до границ допустимого диапазона - за интервалы варьирования: 1 2,1 и 2 1,21.

Совершив операцию приведения переменных по формуле (2.8),

Значения откликов С, полученных в результате эксперимента при варьировании х1 и х2 на двух уровнях, приведены в таблице (аналогичные данные в качестве индивидуального задания к курсовой работе даны в приложении I).

Таблица 3.1 Расширенная матрица ортогонального плана первого порядка

Рассчитаем критерий Кокрена G по формуле (2.12) (наибольшая дисперсия в третьей строке)

G = 12,8·10-5/18,6·10-5 = 0,688.

Критическое значение критерия Кокрена, которое находим из приложения II, равно Gкр = 0,906 (n = 4, f = 1, a = 0,05). Полученное значение G меньше критического и, следовательно, можно принять гипотезу однородности. То есть задача нахождения коэффициентов регрессии (3.5) при полученных значениях откликов поставлена корректно и мы можем приступить к ее решению.

19

Рассчитаем усредненную оценку дисперсии воспроизводимости по формуле (2.14)

S2 = 18,6·10-5/4 = 4,65·10-5.

Дисперсия величин C j , вычисляемая по (2.16), составит

S 2 (C ) 4,65·10-5/2 = 2,325·10-5.

Число степеней свободы (2.15) при этом составит

f = 4·(2 - 1) = 4.

Теперь можно перейти к расчету коэффициентов регрессии по формуле (2.10). Поскольку коэффициент b0 определяется через фиктивную переменную

x0 (x01 = x02 = x03 = x04 = 1), то

Аналогично рассчитываем b1 и b2:

заменяя нормированные факторы x1 и x2 на u1 и u2 по формуле (2.9), получим

Для проверки гипотезы о значимости коэффициентов регрессии рассчитаем дисперсию коэффициентов регрессии по формуле (2.17)

20

S 2 (b1 ) 2,325 10 5 0,581 10 5 . 4

Из таблиц критерия Стьюдента (приложение II) находим t = 2,38 (f = 4; а = 0,05), а затем доверительный интервал для коэффициента b1 (2.18):

d b1 2,785,8110 6 6,7 10 3 .

Таким образом, коэффициенты регрессии, меньшие по абсолютной величине, чем 6,7·10-3 , можно считать незначимыми. Из уравнения регрессии можно исключить свободный член. Математическая модель примет вид:

Вычислим по этой формуле значение отклика для каждой строки матрицы планирования:

Остаточная дисперсия вычисляется для двух степеней свободы (см. формулу (2.21): f = n – p = 4 – 2 = 2) по формуле (2.20)

Sост2 0,5476 10 5 .

Критерий Фишера (2.22) равен

F 0,5476 10 5 / 2,325 10 5 0,2355.

Критическое значение Fкр по уровню а = 0,05 (f1 = 2, f2 = 4) равно 6,94 (приложение II). Полученное значение критерия Фишера меньше критического, следовательно, уравнение адекватно.

Таким образом, результатом математического моделирования явилось определение коэффициентов А = 0,055 и B = 0,32 в уравнении (3.1) для определения себестоимости С обработки 1 пог. м заготовки.