Материал: 3780

При дальнейшей обработке, например, расчете коэффициентов по формуле (2.10), целесообразно подставить в формулу (2.10) и в другие расчетные

Гипотеза о значимости коэффициентов регрессии проверяется следующим образом. Рассчитывают дисперсию коэффициента регрессии. Для факторных планов на двух уровнях она равна

i n

Затем находят доверительный интервал для коэффициента - тот интервал, в пределах которого коэффициент, в действительности равный нулю, может отклониться от истинного значения с данной малой вероятностью. Доверительный интервал dbi составляет

где t находят по таблицам критерия Стьюдента для выбранного уровня значимости.

Если для какого-либо коэффициента окажется, что

то данный член можно считать незначимым и исключить из уравнения регрессии.

Гипотезу адекватности проверяют следующим образом. Для каждой j-й

~

строки матрицы плана вычисляют расчетное значение y j . Предварительно из

12

уравнения регрессии вычеркивают незначимые члены. Затем находят остаточную дисперсию

n - число строк матрицы плана; p - число значимых коэффициентов регрессии. Проверку адекватности проводят по критерию Фишера

критерия Фишера для выбранного уровня значимости в зависимости от количества степеней свободы числителя (2.21) и знаменателя (2.15). При неадекватности уравнения переходят к более сложной модели.

2.4. Математическая формулировка оптимизационных задач

Целью математического моделирования зачастую является оптимизация параметров моделируемого процесса или объекта. При этом математическая модель оптимизации принимает форму, отличающуюся от математического описания процесса или объекта. В эту модель включаются физические представления о качестве управления процессом или объектом, или о степени полезности объекта, когда речь идет о проектировании. Вопросами моделирования и оптимизации различных процессов или объектов занимается наука «Исследование операций». В рамках этой науки операцией называют всякую целенаправленную человеческую деятельность, в том числе и производственную.

13

В общем случае для проведения операции ее исполнители располагают ограниченными ресурсами R. Имеется определенная свобода в выборе способов проведения операции (способов расходования ресурсов). Очевидно, различные способы x расходования ресурсов будут приводить к различным конечным результатам операции. Очевидно также, что всегда следует стремиться к наилучшему конечному результату операции, достижимому при заданных ресурсах, то есть ресурсы должны быть израсходованы наилучшим образом. Следовательно, результаты операции надо уметь сравнивать между собой и оценивать. Для оценки качества проведения операции служит критерий эффективности операции, который может быть представлен виде целевой функции (или функционала) W, зависящей от возможных способов проведения операции x , от затраченных ресурсов r , а также от случайных факторов :

где запись x X означает, что принятый способ проведения операции x должен принадлежать области допустимых значений X, а запись r R означает, что фактически затраченные ресурсы r должны принадлежать области допустимых значений затрат ресурсов R.

Соотношение (2.23) представляет собой в общем случае операционную математическую модель.

Первое уравнение, входящее в (2.23) есть критерий эффективности - целевая функция; два других соотношения образуют систему ограничений. Решение оптимизационной задачи состоит в поиске таких элементов решения

14

Под возможными способами проведения операции x обычно подразумевают управляемые параметры процесса или объекта, то есть такие параметры, которые можно менять по желанию людей, проводящих операцию (проектирование технологического процесса, объекта и т.п.).

Ограничения на управляемые параметры и ресурсы могут быть заданы в

или равенств

Частным случаем ограничений типа неравенств являются прямые ограничения

детерминированной. Если случайные факторы учитываются, модель называется стохастической. Часто величины, входящие в модель (2.24), могут быть функциями времени. В этом случае модель называется динамической. Если величины, входящие в (2.24), от времени не зависят, модель называется

статической.

Вформулировке (2.24) задача оптимизации есть задача

математического программирования. Если целевая функция и функции ограничений линейны, то имеем задачу линейного программирования. В

противном случае имеем задачу нелинейного программирования.

Взадаче математического программирования ограничения могут отсутствовать. В этом случае задача оптимизации есть задача безусловной оптимизации. Если ограничения присутствуют, то имеется задача условной оптимизации.

15

2.5. Метод неопределенных множителей Лагранжа решения нелинейных задач оптимизации

К классическим методам поиска экстремумов целевых функций относятся аналитические методы исследования функций с применением аппарата дифференциального исчисления. Как правило, эти методы позволяют найти лишь безусловные экстремумы.

Для непрерывной функции F( xi , ..., xn ) , имеющей непрерывные производные первого и второго порядков, необходимым условием экстремума в точке пространства управляемых параметров x служит равенство нулю в этой точке частных производных по всем переменным. Другими словами, для поиска экстремума берут частные производные от целевой функции по всем переменным, и полученные уравнения приравнивают к нулю:

Решив систему уравнений, находят координаты всех стационарных точек целевой функции. Однако остается неясным вопрос о характере стационарной точки. Это может быть либо максимум, либо минимум, либо точка вовсе не является экстремальной, а лишь точкой перегиба. Теоретически достаточное условие максимума имеет вид:

а условие минимума -

В некоторых случаях характер стационарной точки ясен из физического смысла задачи.

Аналитические методы исследования функций в общем случае не позволяют находить условные экстремумы. Но в случае ограничений-равенств задача условной оптимизации может быть сведена к задаче безусловной