Материал: 4536

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Одинаковые значения величины Z объединяем, складывая их вероятности. Закон распределения случайной величины Z будет иметь вид:

Z=X+Y		1	3	4	5	6		7
P	0,02		0,1	0,16	0,12	0,36		0,24
M(Z) = 1 · 0,02		+ 3 ·0,1 + 4 · 0,16		+ 5 · 0,12	+ 6 · 0,36	+ 7	· 0,24	= 5,24
Или М(Z) = M(X) + M(Y), где
M(X) = 1 · 0,1		+ 3 · 0,3	+ 4 · 0,6 = 3,4
M(Y) = 0 · 0,2		+ 2 · 0,4	+ 3 · 0,4 = 2

Тогда M(Z) = 3,4 + 2 = 5,4

Вычислим дисперсию случайной величины Z по формуле :

D(Z) = M(Z2) – [ M(Z)]2, где

M(Z2) = 1 · 0,02+9 · 0,1+16 · 0,16 +25 · 0,12+36 · 0,36+43 · 0,24 = 31,2. Тогда D(Z) = 31,2 – (5,4)2 = 2,04.

Или D(Z) = D(X) + D(Y), где

D(X) = 1 ∙ 0,1 + 9 ∙ 0,3 + 16 ∙ 0,6 – (3,4)2 = 0,84 D(Y) = 0,2 ∙ + 4 ∙ 0,4 + 9 ∙ 0,4 – (2)2 = 1,2

Таким образом D(Z) = 0,84 + 1,2 = 2,04.

в) Составим закон распределения V = X ·Y.

Произведением случайных величин X и Y называется случайная величина V = X · Y , возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения X на каждое возможное значение Y . Если X и Y независимы, то вероятности возможных значений V = X · Y равны произведениям вероятностей сомножителей.

V=X∙Y	1·0=0	1·2=2		1·3=3		3·0=0	3·2=6	3·3=9	4·0=0		4·2=8	4·3=12
P	0,02	0,04		0,04		0,06	0,12	0,12	0,12		0,24	0,24
Одинаковые значения величины V = X · Y								объединяем,			складывая		их
вероятности.
Закон распределения V = X ·Y записываем так:
V=X ∙Y			2			3	6	8		9		12
V=X ∙Y	0		2			3	6	8		9		12
P	0,2		0,04		0,04		0,12	0,24		0,12		0,24
Найдем M(V) = 0 · 0,2					+	2 · 0,04	+ 3 · 0,04 +		6 · 0,12		+ 8 · 0,24 +		9
· 0,12 +	12 · 0,24	= 6,8.
Или М(V) = M(X) ∙				M(Y) = 3,4 ∙ 2 = 6,8.

2. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА Пример 1: Непрерывная случайная величина Х задана функцией

распределения:

	0,	x	0
	x2
F (х)		, 0 x 2 .
	4
		x	2
	1,

Требуется:

а) найти функцию плотности распределения f(x);

б) найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение σ (Х);

в) построить графики функций f(x) и F(x); г) найти P(-1 < Х < 1).

Решение:

а) По определению функции плотности вероятности f(x) = F(x) , тогда

			0,			x		0
				x		x		0
		f (х)		x	,	0	x		2 .
		f (х)	2		,	0	x		2 .
			2			x		2
			0,			x		2
б) Для непрерывной случайной величины
	b x f (x) dx		2 x								1									4
																	2
М ( Х )						x dx						x3									.
																	0
			0 2						6										3
	a
	a
	b				2			x							1
М ( Х 2 )	x 2	f (x) dx				x 2		x			dx				1			x 4	2			2 .
М ( Х 2 )	x 2	f (x) dx				x 2					dx							x 4	2			2 .
	a		0					2						8					0
								2						8

D(X) = M(Х2)		- [M (Х)]2				=	2 -			4 2			=	2		.
D(X) = M(Х2)		- [M (Х)]2				=	2 -			3			=	9		.
										3				9

( Х ) D( Х ) 0,47.

F(x)

f(x)

1	1

2	X	2	X

г) Для вычисления вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал (α ,β) можно применить одну из формул:

P ( α Х β)	F( )	F(α )		или P ( α		Х β)		f(x) dx
Применим первую формулу
P (-1 < Х < 1) =	F(1) -	F(-1) =	12		0	1	.
				4		4

Пример 2. Случайная величина Х задана плотностью распределения:

	0,		x	1
	c
f (х)		, 1 x		5	.
	8
			x	5
	0,

Требуется:

а) найти коэффициент С;

б) функцию распределения F(x);

Решение.

а) Плотность распределения f(x) должна удовлетворять условиям:

f (x) 0,			f (x) dx		1.
Тогда			f (x) dx	1		0 dx					5 c		dx	0 dx			c	5 dx	c	x
				1							5 c						c		c		5
																					1
											1 8				8				8
											1 8			5	8			1	8
	c	(5	1)	4 c						1	C .
8		(5	1)	8					2		C .
8				8					2
Так как			f (x) dx						1			, следовательно,			1	C 1, следовательно С = 2.
Так как			f (x) dx						1			, следовательно,			2	C 1, следовательно С = 2.
															2
Таким образом,
					0,			x	1
					1			x	1
			f (х)		1		, 1		x		5			.
			f (х)		4		, 1		x		5			.
					4			x	5
					0,			x	5

б) Для нахождения функции распределения F(x) воспользуемся формулой

	x
F (x)	f (x)	dx .
									x
Если	х ≤ 1 ,	f(x) = 0,	то			F (x)				0 dx				0.
Если 1 < х ≤ 5,			1		x	1		x			х		1
			1		x
		F (x)	0 dx				dx							(x 1) .

					1 4			4			1	4
								4			1	4

Если	х > 1,		1		5 1			х
		F (x)	0 dx				dx		0 dx			1.
		F (x)	0 dx		1 4		dx		0 dx			1.
					1 4			5
			0,		x		1
Итак ,		F ( X )	x 1	, 1		x	5 .
Итак ,		F ( X )	4	, 1		x	5 .
			4		x		5
			1,		x		5

3. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

1. Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина Х распределена равномерно на отрезке [а, b], если на этом интервале ее функция плотности имеет вид

	0,	x	a
	1	x	a
f (x)	1	, a x b .

	b a
	0,	x	b
	0,

Функция распределения для равномерного закона

	0,	x	a
	x a
F (x)		, a x b .
	b a
		x	b
	1,

Математическое ожидание и дисперсия вычисляются по формулам

	b	a			(b a) 2
М(Х) =			;	D(Х) =		.
		2			12

Пример 1. Поезда метро идут строго по расписанию. Интервал движения - 5 минут. Составить f(х) и F(х) случайной величины Х – времени ожидания очередного поезда и построить их графики. Найти М(Х), D(Х).

Решение: Случайная величина Х – время ожидания очередного поезда. Величина Х распределена равномерно на отрезке [0,5], поэтому

	0,		x	0		0,		x	0
	1					x
f (x)		, 0 x 5 .			F (x)		, 0 x 5
	5					5
			x	5				x	5
	0,					1,

Источник: https://studfile.net/preview/16712448/

Смотрите также:




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27