Документ: 5 раздел, страницы 11-15 | База учебных материалов

5.5.2. Свободные колебания в последовательном RC-контуре

Решим задачу анализа свободных колебаний в RCконтуре, схема которого приведена на рис. 5.12. В момент времени t = 0 ключ замыкается.

Рис. 5.12. Схема RC-контура

Определим начальные условия, то есть напряжение на емкости при= 0−. В этот момент ключ еще разомкнут, и в цепи режим постоянного тока, создаваемый источником постоянного напряжения o.

В этом режиме ток на емкости
( ) равен нулю, что эквивалентно

размыканию зажимов емкости. Тогда
схема приобретает вид, показанный
на рис. 5.13.
Найдем напряжение на зажимах
емкости:			Рис. 5.13. Схема RC-контура в
(0	−	) = .	режиме постоянного тока при = 0−
	−	0

Для цепи после коммутации ( ≥ 0), представленной на рис. 5.14, которая образуется из исходной цепи после замыкания ключа, составим

уравнение по второму закону Кирхгофа:

( )

+

( )

= 0,

( )

где

( ) = ( ) ∙ ;

( ) =

.

Подставим

эти

выражения в

уравнение по второму закону Кирхгофа

и

получим

дифференциальное

уравнение

относительно напряжения

( ):

( )

Рис. 5.14. Схема RC-контура

∙

+

( ) = 0.

после коммутации( ≥ 0)

Полученное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка, поскольку в цепи один реактивный элемент – емкость.

Решение данного однородного уравнения будем искать в виде свободной составляющей (вынужденная составляющая равна нулю). Свободная составляющая, а, следовательно, и полное решение имеет вид:

( )

=

( )

= е 1 .

св

1

Показатель

степени

экспоненты

1

является

корнем

характеристического уравнения:

∙ ∙ + 1 = 0,

т. е. 1

= −

1

.

∙

Корень характеристического уравнения является вещественным

отрицательным числом.

В результате,

( ) =

( )

= е−

1

= −

, где = ∙ имеет

∙

св

1

размерность времени и называется постоянной времени RC-контура.

Из начальных условий находим постоянную интегрирования 1:

(0

−

) = е0

= = .

1

0

Окончательное решение дифференциального уравнения будет иметь

следующий вид:

1

( ) =

( )

= е−

= − .

∙

св

0

Определим ток

( ) через напряжение

( ):

( )

( ) =

= −

0

− .

Величины 1

и будут зависеть от структуры цепи и ее параметров.

Если = ,

то ( ) = −1

=

0

и ( ) = −

0

−1 = −

0

. Таким

∙

образом, постоянная времени определяет время, за которое ток и напряжение на емкости в RC-контуре убывают по абсолютной величине в режиме свободных колебаний в ≈ 2,72 раз и составляют

( ) = 0 ≈ 0,37 0 и ( ) = − ∙0 ≈ −0,37 0.

Графики полученных зависимостей ( ) (рис. 5.15, а) и ( ) (рис. 5.15, б) показывают, что абсолютные значения этих величин убывают

по экспоненте со скоростью, которая определяется постоянной времени (как и для RL-контура).

По графикам видно, что происходит разряд емкости. Напряжение постепенно уменьшается до нуля. Во время разряда в цепи протекает ток, противоположный по направлению зарядному, указанному на рис. 5.12. Это означает, что емкость эквивалентна в данном режиме источнику напряжения. Вся запасенная в емкости энергия с течением времени преобразуется в тепло в резистивном сопротивлении.

а)	б)
Рис. 5.15. Графики зависимостей	( ) (а) и	( ) (б)

На рис. 5.16 показано расположение корня характеристического уравнения, который расположен в левой полуплоскости на ее вещественной отрицательной полуоси (как и для RL-контура).

Рис. 5.16. Расположение корня характеристического уравнения на комплексной плоскости

5.6. Переходные колебания в цепях с одним реактивным элементом при ступенчатом воздействии

Ступенчатое воздействие напряжения или тока описывается функцией, представленной на рис. 5.17.

( ) = {0,	при < 0;
,	при ≥ 0.

Рис. 5.17. Ступенчатое воздействие

Ступенчатое воздействие напряжения (тока) называют перепадом или скачком напряжения (тока). Практически перепад напряжения (тока) соответствует включению в цепь источника постоянного напряжения (тока) и легко моделируется цепью из источника постоянного напряжения (тока) и ключа, который замыкается в момент = 0 (рис. 5.18).

Рис. 5.18. Цепи, моделирующие ступенчатое воздействие

5.6.1. Переходные колебания в последовательном RL-контуре при ступенчатом воздействии

Найдем законы изменения тока и напряжения в последовательном RL - контуре, если к его входу подведено напряжение в виде ступенчатого воздействия:

( ) = { 0,			при < 0;
0	0	,	при ≥ 0.

Подобной задаче соответствует подключение к контуру источника постоянного напряжения 0( ) = 0

вцепи, представленной на рис. 5.19,

вмомент замыкания ключа = 0.

Рис. 5.19. Схема RL-контура

Определим начальные условия. До коммутации токи и напряжения в RL-цепи были равны нулю, т.е. цепь находилась в состоянии покоя. Поэтому (0−) = (0+) = 0, т.е. имеем нулевые начальные условия.

Для t в цепи после коммутации (рис. 5.20) запишем уравнение по второму закону Кирхгофа.

Рис. 5.20. Схема RL-контура после коммутации (t )

( ) + ( )

=

0

( ),

где ( ) и

( ) – напряжения на

резистивном

сопротивлении

и

индуктивности.

Выразим

эти

напряжения

через

ток

( )

в

контуре,

используя известные

соотношения

( )

( ) =

( )

∙ ;

( )

=

.

Тогда получим следующее уравнение:

( )
	+	( ) ∙ =	( ) = .	(5.11)
	+	( ) ∙ =	( ) = .	(5.11)
		0	0

Полученное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка, что соответствует цепи с одним реактивным

элементом. Дифференциальное уравнение имеет постоянные коэффициенты и является неоднородным (правая часть отлична от нуля), т.к. в цепи после коммутации имеется источник.

Решение дифференциального уравнения в соответствии с изложенным выше порядком, будем искать в виде суммы (5.5)

( ) = св( ) + вын( ),

где св( ) – общее решение однородного уравнения с правой частью равной нулю, а вын( ) = уст( ) – частное решение уравнения (5.11), которое определяется как установившееся значение искомой переменной в цепи после коммутации.

Для определения св( ) запишем характеристическое уравнение, соответствующее полученному дифференциальному. Оно будет иметь вид:

+ = 0,

его корень будет равен:

1 = −

= −

1

.

В соответствии с этим свободная составляющая

( ) = е 1

= е−

= −

,

(5.12)

св

1

где

– постоянная интегрирования; =

– имеет размерность времени и

1

называется постоянной времени RL-цепи.

Необходимо отметить, что в цепи с одним реактивным элементом дифференциальное уравнение для искомой переменной будет первого порядка как для свободных, так и для переходных колебаний. Постоянные

А1 и будут зависеть от структуры цепи и ее параметров.

Вынужденную составляющую

вын

( )

будем определять как

установившееся значение тока в цепи. В установившемся режиме при t в цепи установится режим постоянного тока, при котором напряжение индуктивности тождественно, т.е. для любого момента времени, равно нулю

( )

(согласно соотношению

( ) =

= 0

при ( ) = const).

Поэтому в установившемся

режиме

постоянного

тока

индуктивность

можно

представить

коротким

замыканием, а всю схему в виде,

представленном

на

рис. 5.21.

Рис. 5.21. Схема RL-контура в

режиме постоянного тока при t

В данной схеме определяем

вын

( ) =

уст

( ) =

0

.

(5.13)

Полный переходный ток, согласно 5.11–5.13 равен

Материал: 5 раздел

Смотрите также: