Документ: 5 раздел, страницы 16-20 | База учебных материалов

			( ) = е	−		0
				−	+	0	.	(5.14)
					+		.	(5.14)
			1

	Постоянную интегрирования 1			определяем из начальных условий
(0	+	) = 0. После коммутации ток в цепи описывается выражением (5.14).
	+

Полагая в нем = 0 и приравнивая полученное выражение известному

начальному значению, получим (0

+

)

=

+

0

= 0.

Отсюда

= −

0

.

1

Окончательное решение (5.14) принимает вид:

( ) =

0

−

0

е−

=

0

(1 − е−

).

(5.15)

График зависимости тока от времени представлен на рис. 5.22.

До коммутации

ток

в

индуктивности равен нулю и с

этого

же

значения

начинает

изменяться

после коммутации.

При = ток нарастает до 0.63 от

установившегося значения

0

,

а

Рис. 5.22. График зависимости тока

при = 4 достигает значения

на индуктивности от времени

0.98 ∙

.

По истечении времени = (4 − 5)

переходный процесс практически

завершается и в цепи устанавливается постоянный ток

уст

( ) =

0

.

Напряжения на индуктивности можно определить по найденному току

( ) с использованием известного соотношения:

( )

( ) =

= е− .

0

График ( ) приведен на рис. 5.23. Напряжение на индуктивности

( ) пропорционально производной от тока и в первый момент после

коммутации напряжение на индуктивности равно U0, т.е. изменяется скачком, т.к. до коммутации оно равнялось нулю.

Это не противоречит законам коммутации, которые выполняются только для токов в индуктивностях и для напряжений на емкостях.

Рис. 5.23. График зависимости напряжения на индуктивности от времени

5.6.2. Переходные колебания в последовательном RC-контуре при ступенчатом воздействии

Найдем законы изменения тока и напряжения в последовательном RC - контуре, если к его входу подведено напряжение в виде ступенчатого воздействия:

( ) = { 0,			при < 0;
0	0	,	при ≥ 0.

Подобной задаче соответствует подключение к контуру источника постоянного напряжения 0( ) = 0 в цепи, представленной на рис. 5.24, в момент замыкания ключа = 0.

Определим начальные условия. До коммутации токи и напряжения в RC-цепи были равны нулю, т.е. цепь находилась в состоянии покоя. Поэтому

(0−) = (0+) = 0, т.е. имеем

нулевые начальные условия.

Рис. 5.24. Схема RC-контура

Для t в цепи после коммутации (рис. 5.25) запишем уравнение по второму закону Кирхгофа.

( ) + ( ) =

0

( ),

где

( ) и

( ) – напряжения на

резистивном

сопротивлении и

емкости. Выразим эти напряжения

через

ток

( )

в

контуре,

используя известные соотношения

( )

= ( )

∙ ;

( )

=

( )

.

Рис. 5.25. Схема RC-контура

Тогда

получим

следующее

после коммутации (t )

уравнение:


∙	( )	+	( ) =	( ) = .		(5.16)
∙		+	( ) =	( ) = .		(5.16)
				0	0

Полученное уравнение			является		линейным	дифференциальным

уравнением первого порядка, что соответствует цепи с одним реактивным элементом как для свободных, так и для переходных колебаний. Дифференциальное уравнение имеет постоянные коэффициенты и является неоднородным (правая часть отлична от нуля), т.к. в цепи после коммутации имеется источник.

Решение дифференциального уравнения в соответствии с изложенным выше порядком, будем искать в виде суммы (5.5)

( ) = св( ) + вын( ),

где св( ) – общее решение однородного уравнения с правой частью равной нулю, а вын( ) = уст( ) – частное решение уравнения (5.16), которое определяется как установившееся значение искомой переменной в цепи после коммутации.

Для определения св( ) запишем характеристическое уравнение, соответствующее полученному дифференциальному. Оно будет иметь вид:

∙ ∙ + 1 = 0, а

его

корень

будет равен:

1 = −

1

= −

1

. В

∙

соответствии с этим свободная составляющая

( ) = е 1

= е−

1

= −

,

∙

(5.17)

св

1

где 1 – постоянная интегрирования; = ∙ – имеет размерность времени и называется постоянной времени RC-цепи.

Необходимо отметить, что в цепи с одним реактивным элементом дифференциальное уравнение для искомой переменной будет первого порядка, и, следовательно, собственная составляющая будет иметь вид

(5.17). Постоянные 1	и будут зависеть от структуры цепи и ее
параметров.
Вынужденную составляющую		вын	( )	будем определять как
		вын

установившееся значение напряжения в цепи. В установившемся режиме при t в цепи установится режим постоянного тока, при котором ток емкости тождественно, т.е. для любого момента времени, равен нулю

(согласно соотношению ( ) =	( )		= 0 при	( ) = const).
(согласно соотношению ( ) =			= 0 при	( ) = const).


			Поэтому в установившемся
		режиме постоянного тока емкость
		представляет из себя обрыв цепи,
		и схему можно представить в виде
		рис. 5.26.
			Из представленной схемы
Рис. 5.26. Схема RC-контура в режиме		определяем
постоянного тока при t				( ) =	( ) = .
			вын	уст	0

Полное напряжение на конденсаторе равно

( )

= е−

+ .

(5.18)

1

0

Постоянную интегрирования 1

определяем из начальных условий

(0

+

) = 0. После

коммутации напряжение в цепи

описывается

выражением (5.18). Полагая в нем

= 0

и

приравнивая

полученное

выражение известному начальному значению, получим

(0

+

) =

+

= 0.

1

0

Отсюда 1 = − 0. Окончательное решение (5.18) принимает вид:

( ) =

− е−

=

(1 − е−

).

(5.19)

0

График зависимости напряжения на емкости от времени представлен

на рис. 5.27.

До

коммутации

напряжение

на емкости равно нулю и с этого же

значения

начинает

изменяться

после

коммутации.

При

=

напряжение нарастает до 0.53 от

установившегося значения 0, а

при

= 4 достигает значения

Рис. 5.27. График зависимости

0.98 ∙ 0.

напряжения на емкости от времени

По истечении времени = (4 − 5) переходный процесс практически

завершается

и в

цепи

устанавливается

постоянное

напряжение

( ) = .

уст

0

Ток ( )

можно определить по найденному напряжению

( ) с

использованием известного соотношения:

( )

=

е− .

График

( )приведен на рис. 5.28.

Необходимо отметить, что до

коммутации токи и напряжения в

цепи были равны нулю. В момент

коммутации напряжение на емкости

остается

нулевым, а ток

скачком

изменяется до величины

(0

+

)

=

,

а затем постепенно спадает до нуля.

Рис. 5.28. График зависимости тока на емкости от времени

Скачок тока не противоречит законам коммутации, т.к. это не ток в индуктивном элементе.

5.7. Подключение источника гармонического напряжения в последовательной RL-цепи

Предположим, что в схеме, представленной на рис. 5.19, напряжение источника является гармонической функцией времени0( ) = 0cos(ω + 0). Тогда в данном случае дифференциальное уравнение (5.11) будет иметь правую часть в виде гармонической функции:

	( )	+		( ) ∙ = ( ) =				cos(ω + ).
		+		( ) ∙ = ( ) =				cos(ω + ).
					0		0	0
Свободная составляющая решения, как и в предыдущем примере, равна
		( ) = е 1
		( ) = е 1			= е−	= − .
	св			1	1			1
Вынужденную составляющую найдем как установившийся
гармонический ток
			( ) =		( ) =		cos(ω + ).
	вын			уст

Его параметры, т.е. амплитуду ImL и начальную фазу L, определим методом комплексных амплитуд. Искомая комплексная амплитуда тока

̇

∙

0

̇ =

∙ =

0

=

0

,

+ ω

arctg(

ω

)

√ 2 +

(ω )2 ∙

ω

откуда получаем

=

0

;

= − arctg (

).

√2+(ω )2

0

Полный ток

( ) =

( ) +

( ) = −

+

cos(ω + ).

св

вын

1

Для расчета

используем

начальное

условие

(0

+

) = 0 . При

1

подстановке в выражение для полного тока = 0 получим следующее

уравнение:

(0

+

)

=

+

cos( ) = 0, откуда можно выразить :

1

ω

= −

cos( ) = −

0

cos ( − (

)) .

1

√ 2 + (ω )2

0

Окончательно с учетом полученных выше результатов запишем

переходный ток:

ω

( )

=

0

[cos (ω + − arctg (

)) −

√ 2 + (ω )2

0

− cos ( 0 − arctg ( )) ∙ − ].

Материал: 5 раздел

Смотрите также: