Материал: 539

Дисконт по первому и второму векселю составляет

I1 I2 40'000 44 20'000 71 0,06360 530 руб.

Тогда дисконтированная стоимость первого и второго векселей равна

PV1 PV2 60'000 530 59'470 руб.

Отсюда дисконтированная стоимость третьего векселя:

PV3 69'320 59'470 9'850 руб.

Номинальная стоимость третьего векселя:

FV3 360 9'850 360 90 0,06 10'000 руб.

Пример 5.

Для погашения своего долга величиной 800’000 руб. предприятие 20.05 выдало банку четыре одинаковых векселя со сроками погашения: 20.06, 10.07, 05.08, 20.09. Какова величина каждого векселя, если ставка дисконтирования составляет 10% годовых.

Решение.

Пусть FV — номинальная стоимость каждого векселя, тогда общая величина дисконта равна

I1 I2 I3 I4 FV 36 51 77 123 0,1360 0,0783 FV,

отсюда PV 800'000 4 FV 0,0783 FV,FV 203'994,9 руб.

3. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ

Формула сложных процентов является одной из базовых в финансовых вычислениях. Этот термин означает, что процент, выплачиваемый по ссуде или вложенному капиталу, присоединяется к основной сумме, в результате чего проценты выплачиваются и на основную сумму, и на начисленные проценты.

В качестве примера рассмотрим сберегательный счёт, на котором в начале года лежит 5’000 руб. Какая сумма будет лежать через год, два года, три года, п лет при 12% годовых?

Решая задачу, мы определяем конечную стоимость (TV) на счёте в конце заданного периода времени.

TV1 5'000 1 0,12 5'600 руб.

TV2 5'600 1 0,12 5'000 1 0,12 2 6'272 руб.

В конце второго года ко вкладу добавляются 600 руб. как проценты на основную сумму и ещё 72 руб. “набегают” на проценты (600 руб.) за первый год. Отсюда название “сложные проценты”. По прошествии трёх лет величина вклада станет равной

TV3 6'272 1 0,12 5'000 1 0,12 3 7'024,64 руб.

Теперь нетрудно записать общую формулу

TVn P 1 r n,

(3.1)

где Р исходный капитал; r процентная ставка за базовый период, выраженная в долях единицы; п число базовых периодов (лет, кварталов, месяцев).

Коэффициент 1 r n , а также коэффициент 1 r n , который используется в схеме простых процентов, будем называть множителем или коэффициентом наращения.

Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, называют капитализацией процентов.

3.1. Внутригодовые процентные начисления

На практике проценты могут начисляться чаще, чем раз в год (раз в полгода, раз в квартал и т.п.). Но в договоре всё равно указывается годовая процентная ставка. Тогда величина TVn рассчитывается по формуле:

где т количество начислений в год. В таких условиях количество начислений за n лет увеличивается в m раз, зато годовая процентная ставка уменьшается в m раз (полугодовая процентная ставка в 2 раза меньше годовой, квартальная процентная ставка в 4 раза меньше годовой и т.д.).

Пример.

В банк на два года под 20% годовых положены 5’000 руб. Начисление процентов ежеквартальное. Какая сумма будет на счету через два года? Какой была бы эта сумма, если бы проценты начислялись один раз в год?

Решение.

TV1 5'000 1 0,05 2 4 7'387,28 руб.

TV2 5'600 1 0,2 2 7'200 руб.

Видно, что 20% годовых не эквивалентны 5% в квартал, если проценты сложные. Чем чаще идёт начисление по схеме сложных процентов, тем больше итоговая накопленная сумма.

3.2. Начисление процентов за дробное число базовых периодов

Финансовые контракты могут заключаться на срок, отличающийся от целого числа базовых периодов. Тогда проценты могут начисляться одним из двух методов:

а) по схеме сложных процентов:

Здесь для целого числа базовых периодов используется схема сложных процентов, для дробной части базового периода — схема простых процентов.

Поскольку f 1, то 1 f r 1 r f , следовательно, конечная сумма TV будет больше при использовании смешанной схемы.

Пример.

Банк предоставил ссуду в размере 120 тыс. руб. на 27 месяцев (т.е. 9 кварталов, или 2,25 года) под 16% годовых на условиях одновременного возврата основной суммы долга и начисленных процентов. Какую сумму должен вернуть заёмщик банку при различных вариантах и схемах начисления процентов:

а) годовом начислении; б) полугодовом; в) квартальном. Решение.

а) Годовое начисление процентов: n 2; f 0,25; r 0,16.

Схема сложных процентов: TV 120 1 0,16 2,25 167'576 руб.

Смешанная схема: TV 120 1 0,16 2 1 0,25 0,16 167'931 руб.

б) Полугодовое начисление процентов: n 4; f 0,5; r2 0,08.

Схема сложных процентов: TV 120 1 0,08 4,5 169'633 руб.

Смешанная схема: TV 120 1 0,08 4 1 0,5 0,08 169'789 руб.

в) Квартальное начисление процентов: n 9; r4 0,04.

Схема сложных процентов: TV 120 1 0,04 9 170'794 руб.

Здесь продолжительность ссуды (9 кварталов) кратна продолжительности базового периода (квартал), поэтому нужно пользоваться обычной формулой сложных процентов.

3.3. Непрерывное начисление процентов

Перейдём к пределу при m в формуле (3.2)

где е — одна из важнейших постоянных математического анализа, один из так называемых замечательных пределов. Трансцендентное число е=2,718281... используется в различных разделах математического анализа.

Устремляя т к , мы переходим в режим непрерывного начисления процентов. Конечная стоимость TV в этом случае максимально возможна.

Пример.

Найдём TV при m для предыдущего случая.

TV 120 e0,16 2,25 172'000 руб.

3.4. Эффективная процентная ставка

Эффективной процентной ставкой (годовой нормой доходности) называется годовая ставка простых процентов, которая позволяет получить такое же наращенное значение вложенной суммы, как m-разовое наращение в

год по схеме сложных процентов по ставке r . Эффективную процентную m

ставку обозначим через rэ.

Если Р — исходная сумма, S — сумма, подлежащая возврату, r — номинальная годовая процентная ставка, проценты начисляются m раз в год, а срок действия финансовой сделки п лет, то

Пример 1.

Определим эффективные процентные ставки при r=16% годовых и сроке действия договора 1 год.

а) Годовое начисление процентов:

rэ 1,16 1 0,16 (16%).

б) Полугодовое начисление процентов:

rэ 1,082 1 0,1664 (16,64%).

в) Поквартальное начисление процентов:

rэ 1,084 1 0,1699 (16,99%).

г) Ежемесячное начисление процентов:

12

д) Ежедневное начисление процентов (год не високосный):

е) Непрерывное начисление процентов: rэ e0,16 1 0,17351 (17,351%).

Два финансовых контракта считаются эквивалентными (имеющими одинаковую доходность), если совпадают их эффективные процентные ставки.

Пример 2.