Документ: 539, страницы 21-25 | База учебных материалов

Пример 1.

Клиент вложил в банк 5’000 руб. под 30% годовых сроком на 1 год. Процентная ставка изменилась в середине второго квартала, снизившись до 25%, а в начале четвёртого квартала снова выросла до 30%. Какую сумму клиент получил в конце года?

Решение.

Здесь k=3; r1=0,3; r2=0,25; r3=0,3; T1=0,375 (1,5 квартала — это 0,25+0,125=0,375 года); T2=0,375; T3=0,25; t1=t2=t3=0; f1=f2=0,375; f3=0,25.

Через 0,375 года (к середине второго квартала) исходная сумма увеличится в 1 0,3 0,375 1,1125 раза, на счету будет сумма, равная

S1 5'000 1,1125 5'562,5руб.

Через 0,375 года (к началу четвёртого квартала) сумма S1 увеличится в

1 0,25 0,375 1,09375раза,

S2 S1 1,09375 5'562,5 1,09375 6'083,98 руб.

Через 0,25 года (в конце действия договора) величина S2 увеличится в

1 0,3 0,25 1,075 раза и составит S 6083,98 1,075 6'540,29 руб.

Общая формула:

S 1 0,3 0375 1 0,25 0,375 1 0,3 0,25 6540,29 руб.

Пример 2.

В банк вложена сумма 5’000 руб. на 3 года под 20% годовых. Через 26 месяцев процентная ставка снизилась до 15% годовых и оставалась неизменной до конца действия договора. Сколько денег оказалось на счету через 3 года?

Решение.

Здесь r1=0,2; r2=0,15; T1=2,167 (26 месяцев = 2 2 21 года); 12 6

T		10	0,833;t		2;t		0; f		0,167; f		0,833; f		0,25.
T			0,833;t		2;t		0; f		0,167; f		0,833; f		0,25.
2	12			1		2		1		2		3
		S 5'000 1 0,2 2 1 0,2 0,167									1 0,15 0,883			.
														.

5'000 1,674034 8'370,17 руб.

3.6.Ещё о текущей (сегодняшней) и будущей стоимости денег. Дисконтирование

Один из постулатов финансового анализа заключается в том, что деньги сегодня стоят больше, чем в будущем. Поэтому нужно уметь оценивать сегодняшнюю стоимость одной денежной единицы, соответствующую

доходам в будущем. Например, сегодняшняя стоимость одного рубля через

год при ставке 20% годовых составляет только PV 1 0,833333 руб.

12

Действительно, 0,833 руб. через год при ставке 20% как раз и составят

0,833333 (1+0,2)=1,0 руб.

Аналогично 1 руб., полученный через 2 года при ставке 20% годовых,

сегодня стоит только PV	1		0,69444 руб.
		2
1,2

В общем случае текущая стоимость будущей суммы РV, которая должна быть получена через п лет при ставке r% годовых, вычисляется по формуле

	FV
PV			.	(3.8)
	1 r n
	1
В таких расчётах множитель				называется дисконтным
		1 r n

множителем. Пересчёт будущей суммы к настоящему моменту времени называется её приведением или дисконтированием.

Если проценты выплачиваются чаще, чем раз в год, формула для

пересчёта PV такова:		FV
PV				.
			r n m

	1

			m

(3.9)

Пример 1.

Определить текущую стоимость суммы S=50’000 руб., подлежащей уплате через три года, если процентная ставка r=20% годовых.

Решение.

PV	50'000	28'935,19 руб.
	3
	1 0,2

Пример 2.

Какая сумма предпочтительнее при ставке 8% годовых: $1’000 сегодня или $2’000 через 6 лет?

Решение.

Найдём текущую стоимость $2’000 через 6 лет при ставке 8%:

PV 2'000 1'260,33 1'000.1,08 6

Следовательно, надо предпочесть сумму $2000 через 6 лет. Пример 3.

Какой должна быть процентная ставка r, чтобы 25’000 руб. через 3 года
и 50’000 руб. через 6 лет сегодня стоили одинаково?
Решение.
25'0003 50'0006 . Отсюда 1 r 3							2,r 3 2 1 0,26 (26%).
1 r		1 r
Непрерывным дисконтированием называется операция, обратная
непрерывному наращению, т.е. уменьшение суммы в er											раз за единичный
промежуток и уменьшение в en r						раз за п промежутков. Следовательно, PV
при непрерывном дисконтировании вычисляется по формуле
					PV FV .							(3.10)
						er n
Опишем единым образом приведение сегодняшней суммы S к
определённому моменту времени. Сегодня соответствует моменту времени
ноль, наращению соответствует положительная часть оси времени,
дисконтированию — отрицательная. Определим множитель приведения r(t),
который равен множителю наращения, если t>0 и дисконтному множителю,
если t<0:			FV S 1 r t , t 0; PV S 1 r t , t 0.
r t 1 r t;			FV S 1 r t , t 0; PV S 1 r t , t 0.
Зависимость			множителя приведения r(t)						от времени показана на
рис. 3.1. Годовая процентная ставка принята равной 60%.
						4,5
						4
						3,5
						3
r(t)						2,5
r(t)						2
						2
						1,5
						1
						0,5
						0
-3	-2,5	-2	-1,5	-1	-0,5	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3
						t
Рис 3.1. Зависимость множителя приведения (множителя наращения
			и дисконтного множителя) от времени

4.УЧЁТНАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА

4.1. Основные определения

Понятие учётной ставки возникает при взимании процентного платежа

авансом при выдаче кредита, например, в случае рассмотренного ранее учёта векселей. Должнику выдаётся сумма, уменьшенная на величину процентного платежа, а возврату в конце срока подлежит полная сумма долга. Процентный платёж называется дисконтом и часто обозначается буквой D; сумма, подлежащая возврату, обозначается буквой S (или FV); первоначальная сумма ссуды обозначается буквой Р (PV). Отношение дисконта к величине S и называется учётной ставкой за период t, где t — срок действия ссуды.

dt	D	S P	FV PV	1	PV	,	(4.1)
	S	S	FV
					FV

так что всегда dt < 1.

Обычно банки указывают годовую (номинальную) учётную ставку d, а учётная ставка за период t, где время t выражено в годах, определяется формулой

dt d t .			(4.2)
Тогда
P S (1 dt ) S (1 d t),	D S dt	S d t.	(4.3)

Множитель (1 d t) называется дисконтным множителем за период t по учётной ставке d.

Пример.

Кредит выдаётся на полгода по годовой учётной ставке 30%. Определить сумму, получаемую заёмщиком, и величину дисконта, если сумма долга равна 50 тыс. руб.

Решение.
Имеем: t=0,5;S=50; d=0,3, dt=0,3 0,5=0,15;
D S dt 50 0,15 7,5тыс. руб.;
P S D 50 7,5 42,5				тыс. руб.
Процентной ставкой за период t называют отношение процентного
платежа к величине Р , т.е.
	r		D	S P		FV PV	.	(4.4)

		t	P	P		PV
Если r годовая (номинальная) процентная ставка, то rt								r t.
Рассчитаем годовую процентную ставку для предыдущего примера:
r 0,5	7,5	;	r	15	0,353 (35,3 %).
				42,5
42,5

Процентная ставка всегда выше соответствующей ей учётной ставки.

4.2. Наращение по учётной ставке
	При антисипативном методе начисления процентов дисконтирование
прямая операция, а наращение по учётной ставке — обратная. В случае
наращения нужно определить сумму S, подлежащую возврату, если известна
текущая сумма долга Р. Из формулы (4.3) следует:
			S		P		P .
					1 dt		1 d t
	Множитель		1		1		назовём		множителем		наращения за
		1 dt		1 d t
период t по учётной ставке d. Чтобы единым образом описать приведение
суммы к определённому моменту времени с помощью учётной ставки,
введём множитель приведения r(t), который равен либо множителю
наращения, либо дисконтному множителю в зависимости от
выполняемого действия. Совместим начало шкалы времени с моментом
времени, когда задана сумма. Тогда наращению соответствует движение в
будущее, а дисконтированию движение в прошлое.
							1
							,	t 0,
				r(t) 1 d t
					1 d t, t 0.

	Зависимость коэффициента r(t) от времени показана на рис. 4.1,
причём d=0,3 (30%).
						4,5
						4		Наращение
	Дисконтирование					3,5	r(t )		1	,t 0
						3			1
						3
						2,5		(1 d t )
	r(t)=1-d \|t\|, t<0					2
	r(t)=1-d \|t\|, t<0					1,5
						1
						0,5
						0
-2,5	-2	-1,5	-1		-0,5		0	0,5	1	1,5	2	2,5
							t
		Рис. 4.1. Зависимость множителя приведения от времени

5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРОКА ПЛАТЕЖА И ВЕЛИЧИНЫ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК

Материал: 539

Смотрите также: