Документ: 5561, страницы 21-25 | База учебных материалов

С1, то у(0) = С2, а у′(0) = С1. Учитывая заданные начальные условия, получаем, что С2 = 2, С1 = 5. Подставив эти значения в выражение для общего решения,

получим частное решение	у	1		х	2	5х 2 .
			3

Числовые значения постоянных С1 и С2 при начальных условиях (6.5) в случае, если общее решение уравнения имеет явный вид (6.3), находятся из системы уравнений

	у(х0 , С1, С2 )	у00 ,	(6.6)
	у (х0 , С1, С2 ) у01.

Пусть дифференциальное уравнение (6.1) или (6.2) рассматривается на
отрезке [a, b]. Тогда условия
	у(a) = d1, y(b) = d2,		(6.7)
где d1	и d2 – заданные числа, называются краевыми для дифференциального
уравнения второго порядка.
Краевая задача также может иметь единственное решение. В случае
явного	общего решения (6.3) постоянные	С1 и С2	найдутся из системы
уравнений
	у(a, C1, C2 )	d1,	(6.8)
	y(b, C1, C2 ) d2.

Рассмотрим для уравнения у′′ = 2х на отрезке [0,			1] краевую задачу со

следующими однородными условиями: у(0) = 0, у(1) = 0. Так как общее решение

имеет вид	у	1		х	3	С1х С2	, то С1	и С2 найдутся из системы уравнений
			3

									С2		0,
									1	С1 С2		0.

									3
									3
Тогда				С1			1		, С2 = 0. Решением		этой	краевой задачи является функция
Тогда				С1				3	, С2 = 0. Решением		этой	краевой задачи является функция
								3
у	1		х	3	1		х .
у		3	х			3	х .
		3				3

Кроме (6.7), имеются и другие виды краевых условий для дифференциальных уравнений второго порядка.

21

и С2 – произвольные постоянные.

22

C2 xek1x ,

y C1ek1x

xekx и общее решение дифференциального уравнения (7.1) таково:

(7.4)

7 Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

y	py	qy 0,	(7.1)
где p и q – некоторые постоянные.
Многочлен вида
k 2	pk	q

называется характеристическим многочленом линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнение

k 2 pk	q =0	(7.2)
называется характеристическим уравнением уравнения (7.1).
Если в уравнении (7.2) коэффициенты	p и q – действительные числа и

k1, k2 – его различные действительные корни, то функции ek1x ,ek2 x образуют фундаментальную систему решений однородного уравнения (7.1) и его общее решение имеет вид

		y C ek1x	C ek2 x ,						(7.3)
		1	2
где С1 и С2 – произвольные постоянные.
Пример. Найти общее решение уравнения y					3y	2 y 0 .
Решение.	Характеристическое		уравнение		таково:		k 2	3k	2	0 .
Корнями характеристического уравнения являются числа						k1		2 и	k2	1.
Фундаментальную систему решений			образуют		функции		e 2 x , e x . Таким
образом, общим решением является функция				y C1e 2 x		C2 e x .
Если в уравнении (7.1) коэффициенты				p и q – действительные числа, а
уравнение (7.2)	имеет	действительный		корень k		кратности			2,	то
фундаментальная	система	решений	уравнения		(7.1) состоит			из	функций

ekx ,

где С1


Пример. Найти общее решение уравнения y			8y	16 y	0 .
Решение. Характеристическое уравнение таково: k 2				8k	16 0 , откуда
k 4 2	0 . Уравнение имеет действительный корень			k 4	кратности 2.
Фундаментальную систему решений образуют функции				e4 x , xe4 x . Таким
образом, общим решением будет функция y		C1e4 x	C2 x e4 x .
Если в уравнении (7.1) коэффициенты		p и q – действительные числа и
уравнение (7.2) имеет комплексно – сопряжённые корни				i	(β ≠ 0), то

каждый корень из этой комплексной пары даёт одну и ту же фундаментальную систему решений линейного однородного уравнения (7.1), которая выглядит

следующим

образом:

e x cos

x, e x sin

x .

Общее

решение

дифференциального уравнения (7.1) имеет вид

y

e x (C cos

x

C

2

sin

x) ,

(7.5)

1

где С1

и С2 – произвольные постоянные.

Пример. Найти общее решение уравнения y

2 y

9 y

0 .

Решение. Корни характеристического уравнения k 2

2k

9

0 таковы:

k1, 2

1

i 2

2 .

Фундаментальную

систему решений

образуют

функции

e x cos 2

2x, e x sin 2

2x .

Общим

решением

является

функция

y C e x

C e x sin 2

cos 2

2x

2x .

1

2

23

8 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

y py qy f x ,

(8.1)

где f(x) ≠ 0. Будем его рассматривать с постоянными действительными коэффициентами p, q.

Структура общего решения неоднородного уравнения (8.1) имеет вид

		у			~	(8.2)

				у у ,

где у –	общее	решение соответствующего приведённого				однородного
уравнения,	~	какое-нибудь	частное решение самого			неоднородного
	а у –

уравнения.

Нахождение общего решения однородного уравнения с постоянными коэффициентами описано в предыдущей теме и связано с корнями характеристического уравнения (7.2).

Рассмотрим способы нахождения частного решения неоднородного

уравнения (8.1) при специальных видах правой части f(x).
Пусть правая часть уравнения (8.1) имеет вид
f(x) = eσx P (x),	(8.3)
n

где σ – некоторое действительное число, называемое контрольным числом

правой части уравнения (8.1), а
P (x) = a	0	+ a	x + … + a xn	(8.4)
n	0	1	n
есть многочлен степени n ≥ 0 с действительными коэффициентами. При				n = 0

(8.4) задаёт многочлен нулевой степени Pn(x) = a0 ≠ 0, который не нужно путать с так называемым нулевым многочленом – функцией, являющейся тождественным нулём.

Заметим, что при σ = 0 правая часть уравнения (8.1) будет представлять собой многочлен (8.4).

Пусть правая часть уравнения (8.1) имеет вид (8.3). Тогда а) если контрольное число σ не является корнем характеристического уравнения

соответствующего приведённого однородного уравнения, то частное решение ~

у

необходимо искать в виде
у = еσх Q (x);	(8.5)
n

24

б) если σ является простым (однократным) корнем характеристического

уравнения (7.2), то частное решение находят в виде
у = хеσх Q (x);	(8.6)
n

в) если σ является двукратным корнем характеристического уравнения (7.2), то

частное решение надо искать в виде
у = х2еσх Q (x).	(8.7)
n
В выражениях (8.5) – (8.7) многочлен Qn(x)	есть многочлен такой же

степени, что и многочлен Рn(x), стоящий в правой части (8.3), т.е. он имеет вид

Qn(x) = b0 + b1x + … + bnxn.

(8.8)

Коэффициенты br (r = 0, 1, ..., n) многочлена (8.8) подлежат нахождению. Это делается следующим образом. Для соответствующей ситуации функции (8.5), (8.6), (8.7) и входящие в уравнение производные подставляются в (8.1). После этого сокращают на еσх и приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа. Получится система алгебраических уравнений для нахождения коэффициентов br многочлена (8.8). Этот способ нахождения чисел br называют методом неопределённых коэффициентов.

Данный вывод о нахождении частных решений уравнения (8.1) относится и к случаю σ = 0, т.е. случаю, когда правая часть f(x) этого уравнения имеет вид (8.4). Тогда в ситуациях б) и в) можно было бы поступить иначе. В ситуации б) имеем q = 0 и можно понизить порядок уравнения, применяя подстановку z = y′. В ситуации в) имеем, что коэффициенты p и q равны нулю; тогда уравнение может быть решено интегрированием, т.к. оно имеет вид у′′ = Pn(x).

Отметим ещё, что ситуации б) и в) приведённого вывода называются

резонансными случаями.

Поясним сформулированный вывод нахождения частных решений рядом

примеров.
Пример 1.	Найти общее решение линейного неоднородного
дифференциального	уравнения		второго			порядка	с	постоянными
коэффициентами
		4y	y	x		3.
Решение. Очевидно, что правая часть					уравнения представляет собой вид
(8.4), т.е. имеем	случай,	когда		в	формуле (8.3)			0 . Корни
характеристического	уравнения	4k 2	1	0		соответствующего		приведённого
однородного дифференциального уравнения таковы: k1							0,5 и k2 0,5 . Тогда

25

Материал: 5561

Смотрите также: