Документ: 5596, страницы 46-50 | База учебных материалов

Ответ: а)

2x2

5x 1

1 1 38 1

1 1

;

x x 5

x

1

5 x

15

x

5 3 x

1

б)

2x 2

5x

1

dx

1

ln

x

38

ln

x 5

1

ln

x 1

C .

x x

5 x

1

5

15

3

Пример 3. Пусть для дроби

mx2

nx

p

даны параметры m = 1, n = 0, p = –3.

x x 5 2

Раскладываем дробь

x2

3

. Множители в знаменателе линейны, но один из

x x

5

2

них – в квадрате. В этом случае

x2

3

A

B

C

.

x x 5 2

x

x 5

x 5 2

Скобке, стоящей в квадрате, всегда соответствуют 2 дроби. Знаменатель одной из них – это скобка в 1-й степени, знаменатель другой – та же скобка в квадрате.

Корни знаменателей						xA 0,	xB	5,	xC			5 . Коэффициенты A и C можно
найти методом вычёркивания:
A	x2	3			в точке xA	0	A	02	3				3		0,12	;
	x	5	2					0	5	2		25

C	x2	3		в точке xC		5	C	5 2			3			22	4,4
	x								5			5

(поиск C требует умножения первоначальной дроби на x																5 2 , а не на x 5 ).

Коэффициент B вычёркиванием найти нельзя – возникнет деление на 0. Чтобы найти B, представим, что будет, если свести всё к общему знаменателю:

		A	B			C				A x 5 2					Bx x 5 Cx					.
		x	x 5			x	5 2						x x			5 2
Достаточно увидеть, что в числителе появится																Ax2		Bx2 ,			или		A B x2 , а по
условию в числителе стоит x2 с коэффициентом 1. Значит,																			A			B	1. Подставим
A 0,12 : 0,12 B 1, откуда B							1,12 . Итак,
					x2	3		0,12				1,12				4,4	,
				x x 5 2					x			x 5 x 5 2					,
и тогда
		x2	3		dx	0,12			dx		1,12			dx		4,4		dx				.
	x x		5 2		dx	0,12			x		1,12		x		5	4,4		x	5		2	.
	x x		5 2						x				x		5			x	5		2

46

Здесь

dx

x

5

2

x

5 1

C

1

C ,

остальные интегралы –

x

5 2

1

x

5

табличные и находятся так же, как в примерах 1 и 2.

Ответ:

а)

x2

3

0,12

1,12

4,4

;

x x

5 2

x

5

x 5 2

б)

x2

3

dx

0,12 ln

x

1,12 ln

x

5

4,4

C .

5 2

x x

x

5

Замечание. Коэффициент B можно найти и другими способами.

Так, можно увидеть, что после приведения к общему знаменателю в числите-


ле появится 10Ax			5Bx	Cx , а в числителе первоначальной дроби x в первой сте-
пени	отсутствует		(т.е.	стоит 0x). Тогда из	уравнения 10A 5B C 0 при
A	0,12 и C	4,4 также получается B 1,12 .

Наконец, можно взять любое число, отличное от уже использованных значе-

ний xA		0 и xC		5 , например,							x 1, и подставить его в основное равенство:
									12		3			A		B		C	,

							1		1		5 2		1		1	5	1	5 2
что равносильно					1		A		1	B		1	C . Поскольку A						0,12 и C 4,4 , из урав-
что равносильно				18			A		6	B	36		C . Поскольку A						0,12 и C 4,4 , из урав-
				18					6		36
нения		1	0,12		1	B		1		4,4 находим B							1,12 .
нения	18		0,12	6		B	36			4,4 находим B							1,12 .
	18			6			36

Любой верный способ даёт одно и то же значение коэффициента.

Пример 4. Разложим дробь									3x		7		. В знаменателе одна из скобок – в

							x	2 2			x	3
квадрате. В этом случае, по аналогии с примером 3,
					3x	7					A		B			C
																	.
					x 2 2 x 3					x 2 x 2 2						x 3	.
Так же находим
B	3x	7	при x		2 , а именно B							3 2	7		0,2 ;
B	x	3	при x		2 , а именно B							2	3		0,2 ;
	x	3										2	3
C	3x	7		при	x 3:	B		3			3	7		16	0,64 .
C	x	2 2		при	x 3:	B		3			2 2		25		0,64 .
	x	2 2						3			2 2		25

Чтобы найти A, возьмём любое значение x, кроме –3 и 2, например, x 0 , и подставим в разложение дроби, учитывая, что B 0,2 и C 0,64 :

47

							3 0		7								A				0,2					0,64			.
								2 2													2 2								.
					0			2 2	0		3			0			2		0		2 2					0		3
После упрощений							0,58 3						0,5A				0,05			0,21 3 ,							или 0,5A						0,32 . Значит,
A 0,64 (значение точное). Итак,																3x			7				0,64					0,2				0,64		.
A 0,64 (значение точное). Итак,															x 2 2 x 3								x 2 x 2 2											.
															x 2 2 x 3								x 2 x 2 2									x 3
Тогда		3x		7		dx		0,64						dx			0,2			x	2				2 dx			0,64			dx		, интегралы
Тогда		2 2				dx		0,64									0,2			x	2				2 dx			0,64					, интегралы
	x	2 2		x	3							x		2																	x 3
находятся так же, как в примере 3.
Ответ: а)				3x 7						0,64							0,2				0,64				;
Ответ: а)			x 2 2 x 3							x 2 x 2 2															;
			x 2 2 x 3							x 2 x 2 2											x 3
	б)				3x		7		dx				0,64 ln					x	2		0,2						0,64 ln			x	3		C .
					3x		7														0,2

				x	2 2		x	3														x		2
				x	2 2		x	3							4x		5					x		2
Пример 5. Разложим дробь															4x		5			и проинтегрируем. Один из множи-

											x2			5			x		6
											x2			5			x		6

телей знаменателя – квадратичное выражение. Согласно общей схеме, в числителе соответствующей дроби пишется не просто коэффициент, а линейная функция относительно x:

4x

5

Ax

B

C

.

x2

5 x 6

x2

5

x 6

Методом вычёркивания можно найти только C:

C

4x

5

при

x

6

C

4 6

5

29

0,707 .

x2

5

62

5

41

Можно быстро найти A, если заметить, что в числителе исходной дроби нет

слагаемого с

x2 , а в правой части основного равенства приведение к общему

знаменателю даёт Ax2

Cx2 :

Ax B

C

Ax B x 6 C x2

5

Ax

2 Bx 6 Ax 6B Cx 2 5C

.

x2

5 x 6

x2

5 x 6

x2

5 x 6

Тогда A

C

0 , откуда A

C

0,707 .

Коэффициент B также легко найти, если увидеть, что после того же приведе-

ния остаются свободные коэффициенты

6B

5C ,

а в исходной дроби стоит

свободный коэффициент –7.

Поэтому

6B

5C

7 ,

или

6B 5

0,707

7 , и тогда B 0,577 . Получи-

ли разложение

4x

5

0,707x

0,577

0,707

.

x2

5

x

6

x2

5

x 6

48

Значит,

4x

5

dx

0,707

xdx

0,577

dx

0,707

dx

.

x2

5 x 6

5

x 6

Как показано ранее (например, в § 2),

xdx

1

d x2

1

C .

ln

x2

5

x2 5

2 x2

5 2

Остальные интегралы – табличные.

Ответ: а)

4x

5

0,707x 0,577

0,707

;

x2

5 x

6

5

x

6

б)

4x

5

0,707

ln x2

0,577

x

dx

5

arctg

0,707ln

x 6

C

x2

5

x

6

2

5

(модуль заменили простыми скобками, поскольку всегда x2

5

0 ).

В следующем примере просто подставим числа и решим уравнения.

Пример 6. Проинтегрируем

1

. Заметим, что x3 8x

x x2 8 , поэтому

x3

8x

1

A

Bx

C

.

x x2

x2

8

x

8

Находим A

1

0,125 –

как в предыдущих примерах. Далее подставим

02

8

x 1, затем x				1:
x 1		1			A B 1 C			A	1	B	1	C	1	;

	1 12			8	1	12	8		9		9		9
	1 12			8	1	12	8		9		9		9
x 1				1			A B 1 C					A	1	B	1	C	1	.

			1	1 2	8		1	1 2	8				9		9		9
			1	1 2	8		1	1 2	8				9		9		9

Умножим 1-е уравнение на 9, а 2-е – на –9:

9 A B C 1

9 A B C 1.

Вычитая одно уравнение из другого, замечаем, что C

0 , и тогда 9A

B 1.

Коэффициент

A известен,

выгодно

выразить

B

1 9A

и

подставить

A 0,125. Тем самым B

1

9 0,125

0,125.

Итак,

1

0,125

0,125x

0

0,125

1

0,125

x

, соответственно

x3

8x

x

x2

8

x

x2

8

dx

xdx

0,125

C .

0,125

0,125ln

x

ln

x2

8

x3 8x

x

x2 8

2

49

Ответ: а)

1

0,125

0,125x

;

x3

8x

x

x2

8

б)

dx

1

ln x2 8 C .

ln

x

x3 8x

8

16

Замечание. В примере 6 получается довольно простая система уравнений. Иногда выгоднее заменить дроби на десятичные, например,

A 0,111B 0,111C 0,111

(где 0,111	1/ 9 ), подставить A		0,125 и перенести полученные числа вправо:
0,111B	0,111C	0,014	C	0	(например, методом Крамера).
0,111B	0,111C	0,014	B	0,125	(например, методом Крамера).
				P x
ИД2. Проинтегрируйте дробь						, где числитель P x	указан,
ИД2. Проинтегрируйте дробь				x a x	b x c	, где числитель P x	указан,

разложив её на сумму			A

			x a
			x a
1)	1	;

	x a x b x c

а) a = 0, b = 1, c = 2; г) a = 1, b = 2, c = 3; ж) a = 2, b = –2, c = 1; к) a = 3, b = 4, c = –5;

x

2) x ax bx c ;

B	C	при заданных значениях a, b, c:

x b	x c
x b	x c

б) a = 0, b = 1, c = –1;	в) a = 0, b = 2, c = 3;
д) a = 1, b = 2, c = –3;	е) a = –1, b = 2, c = 3;
з) a = 2, b = –2, c = –1;	и) a = 3, b = 4, c = 5;
л) a = 3, b = –4, c = 5;	м) a = –1, b = –3, c =–5;

а) a = 1, b = 2, c = 3; г) a = 1, b = –1, c = –2; ж) a = 2, b = 3, c = –4; к) a = 3, b = 4, c = –4;

x2

3) x ax bx c ;

б) a = 1, b = 2, c = –3; д) a = 1, b = 2, c = –2; з) a = 2, b = –3, c = 4; л) a = 1, b = 3, c = 5;

в) a = 1, b = –1, c = 2; е) a = 1, b = –2, c = 3; и) a = 3, b = 4, c = –3; м) a = 1, b = 3, c = –5;

а) a = 0, b = 1, c = –1; г) a = –1, b = 2, c = –2; ж) a = 1, b = –2, c = 3; к) a = 3, b = 4, c = 5;

б) a = 1, b = –1, c = 2; д) a = 1, b = 2, c = 3; з) a = 1, b = –2, c = 3; л) a = 3, b = –4, c = 5;

в) a = 1, b = 2, c = –2; е) a = 1, b = 2, c = –3; и) a = –1, b = –2, c = 3; м) a = 3, b = 4, c = –5.

50

Материал: 5596

Смотрите также: