Документ: 5596, страницы 16-20 | База учебных материалов

Действительно, есть более короткое решение:

cos x		sin x		sin x dx	d sin x	,
	dx		dx
sin5 x	dx	sin5 x	dx	sin x 5	sin x 5

тогда, заменив t

sin x , сразу получаем интеграл

dt

t 5dt

t 4

C

1

C .

t5

4 sin4

4

x

Таким же образом можно было найти интегралы

а)

x

1

2x

1 x2

1 x2 dx 1 d x2

dx

x2 3

2 x2

3

2 x2

3

2 x2

3 2 x2

3

dt

1

t x2

ln

t 3

C

ln

x2

3

C ln x2

3 C ;

t

3

2

б)

ln x

1

t2

ln2

x

C .

dx

ln x

dx

ln x ln x

dx

ln x d ln x

tdt

C

x

2

Здесь действия показаны очень подробно, и половину из них можно пропустить. Особенно коротким сделает решение следующая

Таблица основных дифференциалов

1

d x2

x2dx

1

d x3 ;

dx

xdx

;

2d

x ;

d ln x ;

2

3

x

ex dx

d e x

a x dx

1

d a x

;

cos xdx

d sin x ;

sin xdx

d cos x ;

ln a

dx

d tg x ;

dx

d ctg x ;

dx

d arctg x ;

dx

d arc sin x .

cos2

sin2 x

x2

x

1

x2

Примеры подведения под знак дифференциала

1)

dx

1 1

1

dt

C ;

dx

d ln x

t

ln x,

ln

t

ln

ln x

x ln x

ln x x

ln x

t

2)

dx

1

dt

C ;

dx

d ln x

t

ln x,

2

t

2 ln x

x ln x

ln x x

ln x

t

3)

cos3 x sin xdx

cos3

xd cosx

t cosx,

t 3dt

t 4

cos4 x

C ;

4

4)

cos x

d sin x

dt

dx

t

sin x,

2 t

2

sin x

C ;

sin x

t

16

x

1

d x2

dt

5)

t x2 ,

x2

4 C ;

dx

2 t 4

2

x2

4

x2

4

t

4

d x2

x

1

dt

5

3t

1

6)

dx

t x2 ,

2

5 3x2

C ;

2

3

5 3x2

5 3t

7)

e x

dx

d ex

t e x ,

dt

ln

t 4

ln

e x

4

C ;

e x

4

e x 4

t 4

8)

e x

dx

d e x

t

e x

e2 x

t 2 ,

dt

1

arctg

t

1

arctg

e x

C ;

e2 x

t 2

4

4 2

2

3

arctg x

2

3

9)

x2

1

dx

arctg xd arctg x

t

arctg x,

tdt

3 t

3 arctg x

2

C ;

x2dx

d x3

x3

10)

1

x3

x6

t 2 ,

dt

1

t

2

1

2

C .

t

ln

x6

4 3 x6

x3

4

t

2 4 2 2

t 2

12

2

ПД1. Найдите интегралы

1)а)

е)

2)а)

е)

3)а)

е)

4)а)

е)

5)а)

е)

xdx

;

б)

x2

1

xdx

;

ж)

x2

9

ex dx

;

б)

ex

3

ex dx

;

ж)

e2 x

16

cos xdx

;

б)

sin x

cos xdx

;

ж)

sin2 x

4

ln2 xdx

;

б)

x

dx

; ж)

x 1

ln2 x

dx

;

б)

x

1

x

dx

;

ж)

x

5

x

xdx

;

в)

x2

1

xdx

;

з)

x2

9

ex dx

;

в)

2ex

3

ex dx

;

з)

4e2 x

16

cos xdx

;

в)

sin x

cos xdx

;

з)

4 sin2 x

dx

;

в)

x ln2 x

dx

;

з)

x 5

ln3 x

dx

;

в)

x

1 x

dx

; з)

x

5

x

xdx

;

г)

1

x2

xdx

;

и)

16

x2

ex dx

;

г)

ex

2

ex dx

;

и)

9

e2 x

cos xdx

;

г)

sin4 x

cos xdx

;

и)

4

sin2 x

dx

;

г)

x ln x

4

dx

;

и)

x 3

ln5 x

dx

;

г)

x

4

x

e x dx

;

и)

x

xdx

;

д)

xdx

;

x4 1

1

x4

xdx

;

к)

xdx

;

x4

25

7

x4

ex dx

;

д)

ex dx

;

4ex

3

5

ex

ex dx

;

к)

ex dx

;

e2 x

16

e2 x

3

cos xdx

;

д)

cos xdx

5

2 sin x

sin5 x

cos xdx

;

к)

cos xdx

;

esin x

e3

2sin x

dx

;

д)

ln xdx

;

x 1

ln2

x

ln5 x

3 ln x 1 dxx ; к)

			dx				; д)



	x		5			x
		dx			;		к)


e x				x
e x				x

		dx	;

	x ln3 x
			dx		;
cos x			dx


				x
		dx	.



		xe x

17

§ 3. Интегралы от функций, содержащих квадратичное выражение ax2 bx c

При интегрировании функций, содержащих выражение ax2 bx c , поможет

формула x2							p		2			p	2
		px	q		x					q			. Например,
		px	q		x	2				q	2		. Например,
						2					2
а) x2	4x 7		x	4		2		7	4		2		x 2 2	3 ;

				2					2
				2					2
б) x2	6x	x	6	2		6		2		x 3 2			9 ;

			2			2
			2			2
в) x2	3x	2	x	3		2		2	3		2		x 1,5 2	0,25.

				2					2
				2					2

Полученную скобку удобно обозначить новой буквой и перейти к интегралу по этой переменной (дифференциалы новой и старой переменных совпадут).

Коэффициент перед квадратом лучше выносить за скобку:

ax2	bx c a x2		b	x		c	,

			a			a
а затем, если возможно, и за знак интеграла. Так,
4x2 8x 12 4 x2 2x	3 ;	0,5x2			2x		3 0,5 x2 4x 6 .

Цель замены – перейти к интегралу без линейного слагаемого

px , поскольку

интегралы, содержащие только x 2

q , находятся проще, и часто – по таблице.

При этом важно помнить, что xdx

1

d x2

, tdt

1

d

t2

, и т.п.

2

А именно (см. § 2),

tdt

1

d t 2

1

d t 2

a

dz

1

C ;

ln

z

ln

t 2

a

t 2

a

2 t 2

a

2 t 2

a

z

2

tdt

1

d t 2

1

d t 2

a

dz

1

t 2

C ;

2

z

2

a

C

a

2

t 2

a

t 2

a

t 2

a

z

tdt

1

d t 2

1

d b

t 2

dz

1

t 2

C ,

2

z

2 b

C

b

2

b t 2

z

где a – любое число, и число b

0 . Кроме того, при a

0

t 2 dt

t 2

a a

dt

1

a

dt

a

dt

t

a

arctg

t

C ;

t 2

a

18

t 2 dt

t 2

a a

dt

1

a

dt

a

dt

t

a

ln

t

a

C ,

t 2

a

2 a

t

a

где

a .

a

Замечание 1. После замены часто появляются интегралы

t2dt

,

t2dt

t2

t2 A

A

или

t2dt

. Их можно найти так:

A

t 2

t2

6

t2

6

dt

dt 6

t2

6dt 6 ln

t

t2

6

C ,

t2

6

t2 6

t2

6

t2

6

аналогично во 2-м и в 3-м случае.

Однако интегралы вида t 2 6 dt достаточно сложны. Воспользуйтесь гото-

выми формулами

1

A

t 2

Adt

t

t 2

A

ln

t

t 2

A

C ;

2

1

A

t

arcsin

A

t 2 dt

A

t2

C

2

A

(проверьте дифференцированием, что это действительно так).

КИ1. Найдите при помощи равенства xdx

1

d x2

и замены x2

t :

2

1)

xdx

;

xdx

;

xdx

;

3xdx

;

3xdx

;

5 x2

x2 2

x2

3

x2

2

2)

xdx

;

xdx

;

xdx

;

4xdx

;

4xdx

;

x2

3

x2

4

6 x2

x2

5

7 x2

3)

xdx

;

xdx

;

xdx

;

5xdx

;

3xdx

;

5x2

2

3x2

2

6 3x2

4x2 7

5 3x2

4)

xdx

;

xdx

;

xdx

;

4xdx

;

5xdx

.

4x2

9

3x2

4

6 3x2

7x2

5

7 3x2

Пример 1 (для краткости

1

x2

обозначено как 0,5d x 2 .

2

а)

4xdx

4 0,5d x2

dt

2

3x2

C ;

2

ln

6

3t

C

ln

6

6 3x2

6 3t

3

4xdx

4 0,5d x2

dt

2

4

б)

3x2 C .

2

2 6

3t

C

6

3

6 3x2

6 3t

19

dt

dz

При поиске

и

учли, что

ln

z

C

и

2 z C соот-

6 3t

z

6 3t

z

ветственно, и применили основное правило табличного интегрирования.

КИ2. Найдите интегралы, разложив каждый на сумму интегралов, один из которых – табличный, а другой аналогичен найденным в задании КИ1:

1)

3x

2

dx;

4x 5

dx;

3x 1

dx;

5 2x

dx;

3x 7

dx ;

x2

x2 3

2

5 x2

x2

2

5 x2

2)

4x 5

dx;

2x 7

dx;

3x 2

dx;

4 5x

dx;

4x 3

dx ;

x2

3

x2

4

6 x2

x2

5

7 x2

3)

2x 3

dx;

5x 6

dx;

4x 1

dx;

5 8x

dx;

3x 8

dx ;

5x2

6 3x2

4x2

5 3x2

2

3x2

2

7

4)

6x 2

dx;

2x 3

dx;

4x 9

dx;

4 3x

dx;

5x 6

dx .

4x2

9

3x2

4

6 3x2

7x2

5

7 3x2

Пример 2. Найдём интеграл

5x

7

dx , разложив на сумму двух:

x2

3

5x

7

xdx

dx

0,5d x2

dx

dx 5

7

5

7

x2

3

x2

3

x2

3

x2

3

x2

3

2

x

3

d x2

3

1

x

7

arctg

x

C .

2,5

7

arctg

2,5 ln

x2

3

x2

3

Ответ:

5x

7

dx

2,5ln x2

3

7

arctg

x

C

(модуль не нужен, поскольку

x2

3

всегда x2

3 0 ).

Пример 3. Возьмём таким же образом интеграл

5x

7

dx

:

5

6x2

5x	7	dx	5	xdx


5	6x2			5 6x2
5	6x2			5 6x2

Рациональнее всего найти интегралы так:

а)

xdx

1

dx2

1

d 6x2

2

6

5 6x2

dz

где учли, что

2 z ;

z

dx

7 .

5 6x2

1 d 5		6x2	2
					5 6x2 C ,

12	5	6x2	12	1


б)	dx	1	dx		1	arcsin	x		1	arcsin	6x	C2 .

	5 6x2	6	5 / 6 x2	6			5 / 6	6			5
	5 6x2	6	5 / 6 x2	6			5 / 6	6			5

20

Материал: 5596

Смотрите также: