Материал: 5601

Ответ: не более 2 изделий испортится с вероятностью 0,675. Более 3 изделий испортится с вероятностью 0,145.

Пример 2. Четверть клиентов банка продлевает вклад на новый срок. Какова вероятность, что из 200 интересующих нас клиентов, действующих независимо, вклад продлят в точности 50 человек? В точности 60?

Решение. Каждый из 200 клиентов ‒ отдельное испытание, п 200 . Вероятность продления вклада р 0,25 . Величина пр 200 0,25 50 намного больше 9,

искать е 50 5050 по формуле Пуассона невозможно. Применим формулу Лапласа:

50!

Ответ: вероятность, что 50 клиентов из 200 продлят вклад ‒ около 0,065. Вероятность, что так сделают ровно 60 клиентов ‒ около 0,017.

В такой постановке задача не имеет практической ценности: не произойдёт ничего особенного, если вклад продлят не 50, а 51 или 49 человек. Важнее, продлят ли вклад «не менее 50», «не более 100», «от 50 до 100» клиентов и т.п. Перебор всех подходящих значений в таких случаях громоздок, и помогает

Интегральная формула Лапласа. Если число испытаний п и вероят-

ность события в отдельном испытании постоянна и равна р, то вероятность того,

Лапласа. Для её вычисления применяют таблицы (приложение В).

16

Пример 4. Примерно половина студентов выполняет контрольную работу с 1-го раза. Каковы шансы, что в потоке из 40 студентов с 1-го раза напишут работу более 24 человек? Хотя бы 18?

Решение. Фраза «половина студентов» означает, что для отдельно взятого студента шанс выполнить работу р 0,5 . Численность потока ‒ это число испытаний: п 40 . Очевидно, число выполненных работ не превышает 40.

а) в 1-м случае работу должны выполнить более 24, т.е. хотя бы 25 человек.

Замечание. Иногда вопрос ставится так: «какова вероятность, что работу выполнит более 70% студентов» (и т. п.). Чтобы получить границы k1 или k2 , надо перевести проценты в числа (например, 70% от 90 – это 0,790 63 человека).

§ 6. Дискретные случайные величины

Во многих задачах случайное событие можно выразить числом: выигрыш в лотерее, прибыль предприятия и т.д. Такие числа называют случайными величинами (СВ). Дискретные СВ (ДСВ) принимают значения из некоторого набора, непрерывные СВ (НСВ) ‒ из интервала. Так, выручка магазина ‒ непрерывная СВ, а число посетителей за минуту ‒ дискретная.

Закон распределения ДСВ ‒ таблица, где даны возможные значения величины и вероятности, с которыми она принимает указанные значения.

17

Функция распределения СВ ‒ это вероятность того, что величина примет значение, меньшее указанного: F x P CB x .

Случайные величины обычно обозначают буквами, указывая их смысл, например, Х – «прибыль фирмы за год». Всегда малая буква ‒ обозначение числа, большая буква ‒ обозначение некоторого понятия.

Пример 1. В лотерее выпущено 200 билетов, на 1 из них падает выигрыш в 500 руб., на 4 билета ‒ выигрыш в 50 руб., на 20 билетов ‒ выигрыш в 5 руб. Величина Х ‒ выигрыш по купленному билету. Составим закон распределения Х.

Решение. Величина Х может принять одно из значений: 500 руб., 50 руб., 5 руб., а также 0 руб., если билет ничего не выиграл.

Вероятность того, что билет выиграл 500 руб. ‒ это отношение числа билетов

175

не выигрывают ничего и потому P X 0 0,875 .

200

Ответ: закон распределения выигрыша по случайно купленному билету

Обратите внимание, что сумма всех вероятностей всегда равна 1.

Зная закон распределения, можно найти числовые характеристики ‒ матема-

Замечание. Если случайную величину вместо буквы Х обозначить другой буквой, например, как Y, получим обозначения MY , DY , M Y 2 , P a Y b и т.д.

Записи P X a; b, P CB a; b, P a X b , P a CB bравноправны.

18

Пример 2. Для случайной величины из примера 1 найдём её числовые характеристики и поясним результаты. Перепишем закон распределения:

Дисперсию найдём обоими способами, чтобы проверить, совпадут ли ответы:

Итак, при покупке большого числа билетов средний выигрыш составит 4 руб. (без учёта затрат на билет!). Но в среднем выигрыш будет отличаться от ожидаемых 4 руб. на 35,87 руб.

Ответ: MX 4 руб., DX 1286,5 руб.2 , Х 35,87 руб.

Замечание. В основном выигрыш отличается от ожидаемого не на 35 с лишним рублей, а на 4, поскольку почти все выигрыши равны 0. Большое среднее отклонение получено из-за выигрыша в 500 руб., пусть даже очень редкого. Дисперсия чувствительна к выбросам – значениям, сильно отличающимся от остальных. Каким способом лучше считать дисперсию, зависит от задачи.

При составлении закона распределения можно применять любые известные формулы: Бернулли, классическое определение вероятности и т.д.

Пример 3. Примерно 40% фирм работают менее 4 лет. Нас интересуют 3 фирмы, начавшие работу. Величина Y ‒ число фирм среди них, которые проработают менее 4 лет. Составим закон распределения величины Y и найдём её числовые характеристики.

Решение. Из условия получаем, что p 0,4 ‒ вероятность, что отдельная фирма проработает менее 4 лет. Обозначим n 3 ‒ общее число фирм. Величина Y принимает 4 возможных значения: Y 0 (все фирмы продолжат работу), Y 3 (все фирмы прекратят работу), а также Y 1 и Y 2 (соответственно 1 или 2 фирмы прекратят работу).

Судя по условию, фирмы работают независимо, и имеет место схема независимых испытаний. Поэтому для вычисления вероятностей применим формулу Бернулли (о вычислении Cnk см. § 1).

19

Смысл результатов в следующем:

а) если все возможные фирмы поделить на тройки, то в среднем 1,2 фирмы в

Пример 4. Для данных примера 3 составить функцию распределения и найти значения F 0 , F 0,5 , F 2,5 , F 6 .

Решение. Для ДСВ функция распределения меняется скачком в точках, равных возможным значениям. Величина скачка равна вероятности значения:

Интересующие нас значения функции:

равно 0, а вероятность этого составляет 0,216;

20