Документ: 5601, страницы 26-30 | База учебных материалов

Решение. Для НСВ понятия «не превысит» и «будет менее» равносильны: теоретически НСВ может только попадать в какие-то интервалы. Поэтому, если обратиться к функции распределения погрешности, то

а)	P X	200	P X	200					F 200			200		0;500		0,002 200					0,4 ;
б)	P X	250	1	P X			250			1	P X			250	1	F 250 .			Но		250		0;500 ,		по-
этому F 250 0,002 250						0,5 и тогда 1							F 250		1	0,5	0,5 ;
в) по аналогии с P X						250			получаем, что P X							150		1		F 150			1	0,3 0,7 ;
г)	P X	600	F 600				600		500		1 ‒ достоверное событие;
д)	P X	150;250			F 250				F 150			0,7		0,5	0,2 ;
е)	P X	550	1 F 550					550		500			F 550		1	1	1	0		‒ по смыслу задачи
это невозможное событие.
Найдём те же вероятности при помощи формулы P X																			c;d			d	c	:
Найдём те же вероятности при помощи формулы P X																			c;d			b	a	:
																						b	a
а)	P X	200	P X			0;200			200		0		0,4 ;

									500		0
									500		0
б)	P X	250	P X			250;				P X			250;500			500		250		0,5 ; аналогично

																500		0
																500		0
в)	P X	150	P X			150;				P X			150;500			500	150			0,7 ;

																500		0
																500		0
г)	P X	600	P X				;600			P X			0;500		500		0	1 ;

															500		0
															500		0
д)	P X	150;250		250			150			0,2 ;

				500				0
				500				0
е)	P X	550	P X			550;				0, поскольку интервалы										550;			и	0;500	да-
же не пересекаются.
Ответ: а) 0,4;			б) 0,5;				в) 0,7;			г) 1;			д) 0,2;		е) 0.

Показательное распределение. Величина распределена показательно с параметром a 0 при x 0 , если плотность её распределения

		f	x		ae ax		при x			0,
					0	при x				0.

Функция распределения для неё			F x			1	e ax при x				0,
						0			при x		0.

Характеристики: MX	1	, DX	1		,	X		1	.
				a2
	a							a
Вероятность попадания в интервал P X								c;d		e ac e ad .
						26

Обычно так распределено время от начала наблюдений до некоторого критического события: поломки устройства, выхода на больничный. Температура, распределённая равномерно во времени, в некоторый момент превышает критическое значение, и человек заболевает.

Пример 2. Сотрудники фирмы работают без выхода на больничный в среднем полгода. Каковы шансы, что конкретный сотрудник проработает без больничного больше года? Больше полутора лет? Больше 2 лет? Каков риск, что он проработает менее 3 месяцев? Вероятность, что он проработает от года до 2 лет?

Решение. Примем за единицу измерения времени 1 год. Из условия следует,

что среднее время работы MX

0,5 лет, но тогда параметр a

1

2

и время ра-

0,5

боты распределено показательно по закону F t 1

e 2t (для t

0 ).

Можно заметить, что F t

‒ вероятность проработать менее t лет, а тогда ве-

роятность проработать не менее t лет составляет 1

F t

1 1

e 2t

e 2t .

а)

P T

1

e 2 1

e 2

0,135;

б)

P T

1,5

e 2 1,5

e 3

0,05;

в)

P T

2

e 2 2

e 4

0,018;

г)

P T

0,25

1 e 2 0,25

1 0,607 0,393;

д)

P T

1;2

F 2

F 1

1

e 2 2

1

e 2 1

e 2

e 4

0,135

0,018

0,117 .

Ответ: а) 0,135; б) 0,05; в) 0,018;

г) 0,393;

д) 0,117.

Нормальное распределение. Величина распределена нормально с параметрами a и 0 , если плотность её распределения

	1		x a		2			1	x a
f x	1	e	2	2		, т.е.	f x	1	x a	,
f x		e	2			, т.е.	f x			,

	2

где z‒ локальная функция Лапласа (приложение Б).

Функция распределения F x 0,5		x	a	, MX		a, DX			2 , X	, а ве-

роятность попадания в интервал P X	c;d				d a		c	a	, где	‒ инте-

гральная функция Лапласа (приложение В).

Так распределены величины, представляющие собой сумму большого числа других независимых случайных величин (или зависящие от них). Пусть, например, ожидаемая прибыль предприятия – 1 млн руб. Но прибыль зависит от многих случайных факторов и из-за их совместного влияния будет случайной величиной, распределённой нормально, с a 1 млн руб.

27

Пример 3. Число посетителей ресторана за день распределено нормально с

параметрами a 200 и	20 . Какова доля дней, когда ресторан посещают
а) менее 160 человек?	б) от 160 до 220 человек?	в) более 220?

Решение. Число посетителей (обозначим его буквой Х) заведомо неотрицательно и теоретически может быть сколь угодно большим. Тем самым

а)	P 0	X	160		160	200		0	200		2	10		2	10 ;

					20				20
					20				20
б)	P 160		X	220	220		200		160		200	1	2	1	2 ;

						20			20
						20			20
в)	P 220		X				200		220		200		1 .

						20			20
						20			20
По таблице			1	0,341, 2			0,477, 10		0,5,			0,5 . Подставим:
а)	P 0	X	160		0,477	0,5		0,023 ;		б)	P 160 X	220	0,341	0,477	0,818 ;
в)	P 220		X		0,5	0,341		0,159 .

Ответ: 0,023, 0,818 и 0,159 соответственно.

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

§ 9. Точечные оценки параметров

Пусть необходимо оценить тип и параметры распределения некоторой случайной величины Х ‒ например, выяснить, не распределена ли она показательно и каково в этом случае её математическое ожидание. Для этого проводят наблюдения и получают значения величины ‒ числа x1 , x2 , , xn ., называемые выборкой объёма n. Оценкой математического ожидания служит выборочное среднее

									x		1		x	x			x		,
									x				x	x	2		x	n	,
											n		1		2			n
											n
а оценкой дисперсии ‒ исправленная выборочная дисперсия
s2		1		x	x 2		x			x 2					x		x 2	, или, что равносильно,
								2								n

	n		1	1
	n		1
				s2			1		x	2		x 2		x 2					n	x 2 .
										2

							n 1		1				2				n	n 1
							n 1											n 1
Пример 1. Инспектор измерил массу 8 булочек и получил значения
					102, 105, 99, 102, 101, 103, 99, 97 г.
Средний вес булочки x						1	102 105						99	102			101		103 99 97		1	808 101 г,
Средний вес булочки x					8		102 105						99	102			101		103 99 97		8	808 101 г,
					8																8
													28

средний			квадрат		отклонения		s2	1		102 101 2	105 101 2 97 101 2


								8	1
	1	1 16	4	1 0	4 4 16	46		6,571	г 2 , само среднее отклонение оцениваем
7						7

величиной					2,563 г.
				6,571

Ответ: можно ожидать, что средний вес всех выпекаемых булочек ‒ 101 г, а вес отдельной булочки отклоняется от 101 г в среднем на 2,56 г.

Если значений много и они повторяются, выгодно перед вычислениями построить вариационный ряд и указать, сколько раз встретилось каждое значение.

Пример 2. Известны оценки за экзамен для 10 случайно отобранных студентов Академии: 4, 3, 3, 4, 4, 5, 2, 3, 5, 4. Оценим средний балл и разброс оценок всей Академии по этой дисциплине. Составим вариационный ряд: таблицу

	Оценка					2		3			4		5

	Частота					1		3			4		2

Указано, что оценка 2 встретилась 1 раз, оценка 3 ‒ 3 раза, 4 ‒ 4 раза, 5 ‒ 2 раза.
Находим средний балл x				1	2 1		3 3		4 4	5 2		1			37	3,7 ;
Находим средний балл x					2 1		3 3		4 4	5 2					37	3,7 ;
		10										10
оценка дисперсии s2	1		22		32		3 42			52 2		10		3,7 2
	1			1					4			10				0,9 , s 0,9 0,95 .
				1					4							0,9 , s 0,9 0,95 .
	10	1										9
Ответ: средний балл Академии оцениваем величиной x																3,7 , а среднее от-
клонение ‒ величиной s		0,95 .

§ 10. Интервальная оценка среднего

Оценка x , сделанная по выборке, указывает лишь наиболее вероятное значение среднего по всем возможным данным.

Так, если средняя зарплата 50 случайно отобранных жителей города в 2014 г. составила 20 тыс. руб., то средняя зарплата всех жителей города, скорее всего, тоже находится вблизи 20 тыс. руб., но может немного отличаться.

Оценить математическое ожидание (истинное среднее) позволяет доверительный интервал. С надёжностью (т.е. с вероятностью) А истинное среднее

находится в интервале x	; x	, где	t		,	‒ среднее квадратическое



				n

отклонение, n – число наблюдений (объём выборки), t – такое число, что интегральная функция Лапласа t 0,5A.

29

Если	неизвестно, то	t	,n 1s	, где	0,5 1 A и t		определяется по
						,n 1

			n 1

таблице t-распределения Стьюдента (приложение Г).

Определение границ для дисперсии возможно, но выходит за рамки указаний.

Пример 1. Средняя ошибка исправных весов составляет 5 г, систематическая ошибка отсутствует. Средний вес 25 проверенных булочек составил 98 г. Найти с надёжностью 99% средний вес всех выпекаемых булочек.

Решение. В подобных задачах ошибка в 5 г – аналог среднего квадратическо-

го отклонения, поэтому считаем, что						5 . Также по условию n	25 и A 0,99 .
Находим 0,5A	0,5			0,99	0,495 , по таблице (приложение В) подбираем пара-
метр t, при котором			t 0,495. Поскольку 2,5 0,494 и 2,6				0,495 3 , берём
большее значение 2,6 для повышения надёжности.
Вычислив	2,6	5		2,6	, видим, что средний вес выпекаемых булочек нахо-


	25

дится в интервале	98			2,6; 98 2,6 , т.е. между 95,4 и 100,6 г.

Ответ: с надёжностью 99% средний вес выпекаемых булочек находится в интервале от 95,4 г до 100,6 г.

Пример 2. Считая дисперсию неизвестной, оценим с надёжностью 90% и

99% средний балл Академии для данных примера 2 в § 9.

Решение. Имеем n

10 ,

x

3,7 ,

s

0,95 . По условию а) A

0,9 ;

б) A 0,99 .

а) Для A

0,9 находим

0,5 1

0,9 0,05 и по таблице (Приложение Г) при

n 1

10 1

9 и

0,05 определяем t

1,833. Тогда

1,833 0,95

0,58 . Довери-

10

1

тельный интервал

3,7

0,58; 3,7

0,58 , т.е.

3,12; 4,28 ;

б)

для A

0,99

находим

0,5 1

0,99

0,005

и также при n

1 9 , но уже

при

0,005 определяем t

3,25 . Тогда

3,25

0,95

1,03 . Доверительный ин-

10

1

тервал 3,7 1,03; 3,7

1,03 , т.е.

2,67; 4,73 .

Такой широкий интервал практически не несёт никакой информации – трудно судить обо всей Академии по оценкам всего 10 студентов.

Ответ: с надёжностью 90% средний балл Академии находится в интервале 3,12; 4,28 , с надёжностью 99% – в интервале 2,67; 4,73 .

При надёжности 100% получим всю область возможных значений. Так, средний балл Академии с надёжностью 100% находится в интервале от 2 до 5.

30

Материал: 5601

Смотрите также: