Материал: 5691

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

	91
Определение 7. Множество точек M			R n , удовлетворяющих усло-
вию
M , M 0	r r	0	(4.14)
т.е. находящихся на расстоянии	r	от точки M 0 R n , называется n -
мерной сферой радиуса r с центром в точке M 0 .
В R3 множество (4.14) есть обыкновенная сфера; в двумерном про-
странстве R 2 это будет окружность, уравнение которой имеет вид
x x0 2	y y0 2		r 2.

На координатной прямой (в одномерном пространстве R1) это будет множе-

ство x0 r, x0	r ,	состоящее из двух точек. Это есть точки пересечения
окружности радиуса r с центром в точке M 0 (x0 , 0) с осью Ox .
Определение 8. Множество точек M					R n , удовлетворяющих усло-
вию
		M , M 0	r r	0		(4.15)
называется n -мерным шаром радиуса r				с центром в точке M 0 .
В R3 множество (4.15) есть обыкновенный трёхмерный шар; в R 2
это будет круг; в R1 это множество будет отрезком x0						r, x0 r .
Параллелепипед (4.13) называют замкнутым параллелепипедом, а
шар (4.15) – замкнутым шаром.
Множество	M	Rn : a	x	b i	1,..., n	называется откры-
		i	i	i

тым параллелепипедом, а множество точек, удовлетворяющих строгому неравенству M , M 0 r , называется открытым шаром.

Открытый параллелепипед есть параллелепипед без его граней. На плоскости это будет прямоугольник без его сторон. На координатной прямой это будет отрезок без его концов, т.е. интервал (a, b) .

Открытый шар есть шар без сферы (4.14). На плоскости это будет круг без окружности, а на координатной прямой – интервал

x0 r, x0	r .
Смысл открытых и замкнутых множеств будет уточняться в следу-
ющем пункте этой главы.
Определение		9. Параллелепипедальной окрестностью точки
M 0 x1(0) , ...,	xn(0)	называется открытый прямоугольный параллелепипед

						92
			x(0)
M	Rn :	x	x(0)	i	, (i	1, ..., n)	с центром в точке M		0	.
		i	i	i					0
	Если все		i	, то это будет открытый n -мерный куб (на плоско-
сти – открытый квадрат со стороной 2 ).
	Определение 10. Открытый шар						(M , M 0 )	радиуса			0 с
центром в точке M 0 x1(0) , ...,						xn(0) называется шаровой		-окрестностью
точки M 0 .
	Если точка M 0			окружена окрестностью одного из указанных двух

типов, то её можно окружить и окрестностью другого типа, содержащейся в первой (являющуюся подмножеством первой). Предоставляем доказать это читателю (например, в двумерном случае).

На координатной прямой Ox (пространство R1) прямоугольная


окрестность точки характеризуется неравенством				x x0	, а шаровая

окрестность – неравенством	x x0		. Оба множества являются одно-
типными интервалами, а при		эти интервалы даже совпадают. Таким

образом, в одномерном пространстве понятия параллелепипеидальной и шаровой окрестности точки совпадают.

4.4. Ограниченные, открытые, замкнутые, связные и выпуклые множества в пространстве Rn

Определение 11. Множество M точек M пространства Rn называ-

ется ограниченным, если это множество содержится в некотором параллелепипеде (в некотором шаре).

Любой параллелепипед и любой шар в Rn являются ограниченными множествами.

Из определений 6 и 11 следует, что все координаты любой точки M

ограниченного множества	удовлетворяют неравенствам ai	xi bi , где
ai и bi – фиксированные	числа. Таким образом, множество	M ограни-

чено тогда и только тогда, когда множество значений каждой координаты ограничено как множество точек на координатной прямой.

Так как в определении 11 можно взять шар с центром в начале коор-

динат,	то из определений 8 и 11 следует, что 0	(O, M ) r. Таким об-
разом,	у ограниченного множества M расстояния всех его точек до

начала координат ограничены.

Определение 10 применимо, в частности, и к последовательностям

(M k ) точек из пространства Rn, так как последовательности можно трак-

товать как множества				M k .
	Ясно, что не всякая ограниченная последовательность точек M k из
Rn	является		сходящейся.			Например,		последовательность точек
M k	1 к 1,	1	является ограниченной, так как все точки M k находятся
M k	1 к 1,	К	является ограниченной, так как все точки M k находятся
		К
в прямоугольнике П				M	R2;	2	x1	2, 0 x2 2 . Но так как по-
следовательность x1(k )				(	1)k	1х1(к)	не имеет предела, то и последова-

тельность этих точек M k предела не имеет.

Нетрудно доказать, что если последовательность точек сходится к некоторой предельной точке, то эта последовательность ограничена (см. аналогичную теорему 7 из главы 3 для одномерного пространства R1).

Ломаной в Rn называют множество точек, состоящее из соединённых друг с другом отрезков (см. пункт 4.3) таких, что началом следующего является конец предыдущего отрезка.

Определение 12. Множество M пространства Rn называется связ-

ным, если две любые его точки можно соединить ломаной, все точки которой принадлежат этому множеству.

Примерами связных множеств на координатной прямой являются промежутки a, b .

Примерами связных множеств на плоскости являются вся плоскость, прямоугольник, круг и любая «фигура», не распадающаяся на отдельные, не соединённые между собой части.

Определение 13. Точка M 0 M называется изолированной точ-

кой этого множества, если можно указать такую окрестность этой точки, в которой нет точек множества M , отличных от M 0 .

На рис. 14 изображено множество		M	, являющееся объединением
~	( M		~	M 0 ).
множества М и одной точкой M 0			М

М0

Рис. 14

Точка M 0 является единственной изолированной точкой множества M .

Если множество состоит из конечного числа точек, то все его точки будут изолированными.

Если множество имеет хотя бы одну изолированную точку, то оно является связным (см. рис. 14).

Определение 13. Множество M в пространстве Rn называется вы-

пуклым, если вместе с любыми двумя его точками оно содержит отрезок, их соединяющий.

Всё пространство, полупространство, шар, параллелепипед, прямая, луч, отрезок, точка есть выпуклые множества.

На плоскости некоторые многоугольники представляют собой примеры выпуклых множеств, однако не все (см. рис. 15). Многоугольник слева на этом рисунке является выпуклым множеством, а справа – нет. Часть

точек отрезка M1M 2 второго многоугольника ему не принадлежит.

М1
М2	М1
М1	М2
М2

Рис. 15

Любое выпуклое множество в n -мерном пространстве является связным (это следует из определений этих множеств). Однако не всякое связное множество является выпуклым. Действительно, многоугольник, изображённый справа на рис. 15, очевидно, является связным множеством, но не выпуклым, как пояснено выше.

Определение 15. Точка M 0 называется внутренней точкой множества M в n -мерном пространстве, если она принадлежит этому множеству вместе с некоторой своей окрестностью (M , M0 ) (возможно, до-

статочно малого радиуса ).

В этом определении можно было иметь в виду и параллелепипедальные окрестности точки M 0 , введённые в определении 8.

Каждая точка пространства Rn является внутренней точкой этого

пространства. Все точки окрестности	(M ,	M 0 )	точки M 0 являются
внутренними. Любая точка интервала	a, b	R1 является его внутренней

точкой.

							95
	Определение 16. Множество						M	Rn называется открытым, если
все точки этого множества являются его внутренними точками.
	Всё пространство Rn есть открытое множество, окрестность любой
точки		в	Rn	есть		открытое		множество.			Параллелепипед
M	Rn : a		x	b (i	1, ...,	n)	и шар	(M , M	0	) r в Rn являются от-
		i	i	i
крытыми множествами. Интервал							a, b	R1 является открытым множе-
ством.		Отрезок		a, b	R1	не является		открытым			множеством; точки
x	a и x		b не являются его внутренними точками.

Определение 17. Точка M 0 называется предельной точкой или точ-

кой сгущения множества M Rn, если в любой окрестности этой точки имеется хотя бы одна точка множества M , отличная от самой точки

M 0 .

Отметим, что сама предельная точка M 0 может принадлежать, а может и не принадлежать множеству M .

Например, в одномерном пространстве точки a и b являются предельными точками интервала a, b , однако обе самому интервалу не принадлежат. С другой стороны, точки a и b являются предельными для отрезка a, b и обе ему принадлежат.

Множество, состоящее из конечного числа точек, не имеет ни одной предельной точки.

Любая внутренняя точка множества M из Rn является предельной точкой этого множества.

Любая точка из Rn является предельной точкой этого пространства. Все точки параллелепипеда (4.13) являются его предельными точка-

ми; все точки шара (4.15) также являются предельными точками этого множества.

Определение 18. Множество M

Rn называется замкнутым, если

ему принадлежат все его предельные точки.

При этом, по определению, множество, не имеющее ни одной предельной точки, также считается замкнутым.

Всё пространство Rn (в частности, R1 или множество ( ,

))

является замкнутым множеством.

Параллелепипед (4.13) и, в частности, отрезок a, b одномерного

пространства есть замкнутые множества. Шар (4.15) является замкнутым множеством.

Теперь получено объяснение названиям замкнутые и открытые параллелепипеды, замкнутые открытые шары, применявшиеся а предыдущем

Источник: https://studfile.net/preview/16711351/

Смотрите также:





Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)