Документ: 5691, страницы 81-85 | База учебных материалов

81

M1, M 2 , M 3 (аксиома треугольника).

Обратимся к курсам линейной алгебры и аналитической геометрии, в которых изучаются конечномерные векторные пространства.

Упорядоченный набор из n действительных чисел x1,..., xn называ-

ется		арифметическим			n -мерным		вектором			и	обозначается
a	x1,..., xn		. Числа	xi i	1,..., n называются координатами (иногда
компонентами) вектора a .					Если у n -мерного вектора все координаты
равны нулю, то вектор называется нулевым :								a	0,...,0 . Два n -мерных
вектора		a	x1,..., xn	и b	y1,..., yn		называются равными (записы-
вают a		b ), если xi		yi (i	1,..., n) .
	Над вектором вводятся операции (действия) сложения векторов и
умножения вектора на действительное число.
	Суммой двух n -мерных векторов a							x1,..., xn		и b	y1,..., yn
называется вектор
			a	b	xi	y1,..., xn		yn .
	Произведением вектора a					x1,..., xn		на	действительное число

называется вектор

a x1,..., xn .

Множество всех n -мерных векторов с действительными координатами, рассматриваемое с определёнными в нём операциями сложения векторов и умножения вектора на действительное число, называется n -

мерным векторным пространством (его также обозначим R n ).

Каждая операция над такими векторами имеет свои свойства (например, a b b a , a a ). Кроме того, есть два свойства, описывающие связь двух операций между собой:

1)	a b	a	b,
2)	a	a	a .
Всё сказанной означает, что R n представляет собой линейное прост-
ранство,	причём конечномерное ( n – размерность этого пространства).

Подробно теория линейных пространств (в частности, n -мерного векторного пространства R n ) излагается в литературе по линейной алгебре 1).

1См. следующие учебные пособия и приведённую в них литературу:

1.Тиунчик М. Ф. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Ч. 1. : учеб. пособие. Хабаровск : ХГАЭП , 1996. 128 с.

2.Тиунчик М. Ф. Элементы линейной алгебры аналитической геометрии. Ч. 2. : учеб. пособие. Хабаровск : РИЦ ХГАЭП, 1997. 140 с.

3.Тиунчик М. Ф. Руководство к решению задач по линейной алгебре и аналитической геометрии. Ч. 1. : учеб. пособие. Хабаровск : ХГАЭП, 2001. 132 с.

	82
Число a,b , определяемое равенством
a, b	x1 y1 ... xn yn	(4.3)

называется R n скалярным произведением векторов a и b . Векторное пространство со скалярным произведением (4.3) называется евклидовым

(гильбертовым) n -мерным векторным пространством. Это позволяет

строить геометрию R n с использованием углов. Угол между векторами определяется по формуле

		a, b
cos				.

		(а, a)	(b, b)
	Линейное пространство L называется нормированным, если любому

вектору a из L может быть поставлено в соответствие число a , называется нормой (длиной) вектора a и удовлетворяющее условиям:

1)

a

0 , если a

0;

0

0 ;

2)

a

a L и

R ;

3)

a

b

a

b

a,b

L .

Векторное пространство R n		оказывается			нормированным, если	норму
определить по формуле

				n
	a		(a, a)		x2 .	(4.4)
					i
				i	1

Таким образом, в R n , как и в геометрических пространствах R1 (коорди-

натная прямая), R 2 (плоскость) и R3 (трёхмерное пространство), измеряются длины векторов по формуле (4.4).

Положим по определению

a,b	a b	.	(4.5)

Легко проверить (предоставляем это читателю), что расстояние между элементами (векторами), введённое по формуле (4.5), удовлетворяет перечисленным в этом пункте аксиомам метрического пространства. Отсюда следует, что нормированное пространство является метрическим. Таким

образом, в R n можно измерять расстояния между векторами.

Так как в R n	a b	x	y ,...,x	n	y	n	, то из (4.4) и (4.5) сле-
		1	1	n		n

дует, что

4.Тиунчик М. Ф. Руководство к решению задач по линейной алгебре и аналитической геометрии. Ч. 2. : учеб. пособие. Хабаровск : РИЦ ХГАЭП, 2004. 172 с.

83

		n
a,b		(xi yi )2
	i	1

(сравните это равенство с (4.1)).

4.2. Последовательности точек пространства R n и их пределы

Будем говорить, что имеется последовательность M k точек M k

из пространства R n , если по некоторому правилу (закону) каждому нату-

ральному числу k(k		) ставится в соответствие единственная опреде-
лённая точка M k	R n .
Следовательно, последовательность точек пространства R n есть от-
ражение множества		всех натуральных чисел в пространство R n .
Подробно последовательность M k запишется так:
		M1, M 2 ,..., M k ,....
Точки называются членами этой последовательности. Отметим, что в
R n каждая такая точка имеет n координат.
Точку M k	называют общим членом последовательности M k .

Последовательность точек будем считать заданной, если будет указана

формула для координат общего члена M k	x1k ,..., xnk .
Если каждому натуральному числу	K будет поставлена в соответ-
ствие одна та же точка M 0 из R n ,	то получим последовательность
M 0 , M 0 ,..., M 0 ,..., которую называют стационарной (постоянной). M 0
в координатной записи выглядит так: M 0 x10 ,..., xn0 .
Обратимся к одномерному пространству R1. Каждая его точка M

характеризуется одной координатой x и записывается M x . Последова-

тельность		M k	точек			M k	R1	будет	иметь	вид
M x 1 , M	2	x 2	,..., M	k	x k	,... или	x 1 , x 2 ,..., x k		,.... Последняя
1	2			k
представляет собой числовую последовательность с общим членом										x k ,
которые изучались в главе 2. Отметим только, что индекс k									общего члена

поставлен сверху. Ранее он писался снизу без скобок и обозначался n , т.е.

84

применялась запись xn . Теперь же индекс n указывает на количество ко-

ординат точки.

Рассмотрим примеры последовательностей точек из конечномерных пространств различных размерностей.

Пример 1. Каждому числу k ставится точка M k									из R 2 , общий член
которой имеет вид M k k,	1			. Следовательно, имеем последовательность
		k

M1 1,1 , M 2	2,			1	, M 3	3,	1	,..., M k	k,	1	,...
			2

						3				k

точек из пространства R 2 .

Пример 2. Рассмотрим последовательность двумерных точек с общим членом M k (k, k 2 ) . Это значит, что имеем последовательность точек

			M 1,1 ,			M		2	2, 4 , M				3		3,9 ,..., M					k	k, k 2				,...,
	1							2					3							k
плоскости (пространства R 2 ).
	Пример			3.				Рассмотрим									последовательность									точек
M k		1	, k, k 2		R3 .		Члены этой последовательности имеют следую-
M k			, k, k 2		R3 .		Члены этой последовательности имеют следую-
		k
щий вид:
	M 1,1,1 ,			M	2	1	, 2, 4			,	M	3	1		, 3, 9			,...,	M		k	1		,	k, k 2 ,....
						1							1

	1					2							3									k
						2							3									k
	Пример 4. Пусть						M k			есть последовательность точек M k																1	из

																										k
																										k
R1. Это означает, что имеем числовую последовательность точек
					M1 1 , M					2	1	,		M 3		1		,..., M k				1			,...

											2												k
											2					3							k

на координатной прямой Ox . Её можно записать ещё таким образом:

1,

1

,

1

,...,

1

,...

(в краткой записи

хк

1

); в главе 2 её записывали как

2

3

k

последовательность с общим членом хn

1

. Ещё раз подчеркнём, что это

n

одна и та же последовательность.

Определение 1. Точка

M 0

R n

называется пределом последова-

тельности

M k

точек M k

R n , если

85

lim (М k , М 0 ) 0.	(4.6)
k

При этом применяются записи

lim М k М 0, М	k	М	0	.
k	k	k	0
При фиксированном k расстояние		является конкретным числом.

С изменением k меняется и это число. Следовательно, в (4.6) речь идёт о пределе числовой последовательности (см. главу 3).

Определение означает, что для любого положительного числа			су-
ществует номер k k	, зависящий от	, такой, что при всех k	k
выполняется неравенство	M k , M 0	.

Последовательность точек M k пространства R n называется сходящейся к точке M 0 , если она имеет предел и расходящейся – в противном

случае.

Определение 1 аналогично определению, данному в главе 3 при рассмотрении последовательности точек на прямой. Действительно, каждой


точке M k	на Ox соответствует некоторое действительное число xk .			За-
дание последовательности M k		точек на прямой равносильно заданию
числовой последовательности xk		. Расстояние между точками M k		xk
и M 0 x0	на прямой определяется равенством (М k , М0 )		xk	x0

(см. пункт 1 данной главы и главы 3). Это и приведёт нас к определению 1 из главы 3.

Можно показать, что сходящаяся последовательность точек имеет только один предел. Очевидно также, что стационарная последователь-

ность M 0 имеет пределом точку M 0 . Рассмотрим примеры на нахождение пределов.

Пример 5.Докажем, что последовательность точек М k										1		,	k 2
Пример 5.Докажем, что последовательность точек М k										k		,	k
										k			k
R 2 сходится к точке M0 0,1 .
Действительно, согласно пункту 1

				2			2
(М k , М 0 )		1	0	2	k 2	1	2	5	5		.
		1			k 2			5	5
								k 2
		k			k			k 2	k
Тогда lim (М k , М0 )		lim		5	0. Доказательство завершено,

				R
k	k			R

установлено равенство (4.6). Пример 6. Доказать, что

из

т.к.

Материал: 5691

Смотрите также: