Материал: 5691

lim

M k

1

,

1

,

k

1

M0 (0, 0, 1).

k

k

k

k

Применим формулу (4.1) дл нахождения расстояний между точками

в пространстве R3 . Получим, что

2

2

2

1

1

k 1

3

3

(М k , М 0 )

0

0

1

.

k 2

k

k

k

k

Так как lim (Мk , М0 )

lim

3

0, то равенство (4.6) установле-

k

k

k

но.

Пример 7. Доказать, что

lim

M k

k

1

M0

(1).

k

k

Имеем одномерный случай. Тогда

(M k , M 0 )

k 1

1

1

k

k

Если задана последовательность точек M k R n

M1 x11 ,..., xi1 ,..., xn1 ,..., M k x1k

,..., xi k ,..., xnk

,...,

то это означает, что имеется n числовых последовательностей:

1

,..., x k

x

,... (последовательность первых координат);

1

1

…

xi

1

,..., xi

k

,... (последовательность i -х координат);

…

1

xn

,..., xn k

,... (последовательность n -ых координат).

Теорема 1 (о координатной сходимости в R n ). Последовательность

точек

M

k

x k ,..., x k

,..., x k

R n

сходится

к

точке

1

i

n

M 0 x10 ,..., xi 0 ,..., xn0

R n ( М k

М 0 ) тогда и только тогда, когда

k

88

Если предел хотя бы одной из последовательностей xi

k

равен

бесконечности или вовсе не существует, то последовательность

M k

точек из R n расходится. Это утверждение следует из теоремы 1.

Пример 9. Исследуем на сходимость следующие последовательности

точек из R 2 :

1) М

k,

1

;

2) М

1

, ( 1)k 1 ;

3) М k ( 1)k 1, k 2 .

k

k

k k

Все последовательности расходятся. У первой последовательности

lim х(k )

lim

k

. У второй – lim

х(k )

lim ( 1)k 1

не суще-

k

1

k

k

2

k

Определение 2. Последовательность {M k },

M k

R n

называется

фундаментальной, если для

0

N такое, что для

k

N и любо-

го натурального числа m выполняется неравенство

(M k m , M k )

.

Теорема 2 (критерий Коши сходимости последовательности). Для

того чтобы последовательность {M k },

M k R n

сходилась, необходимо

89

Вектором с началом в точке

M1 x1,..., xn

и концом в точке

P y1,..., yn называется n -мерный вектор

MP

y1 x1,..., yn

xn .

Вектор OM , где O 0,...,0 – начало координат n -мерного координатного

пространства, называется радиусом –

вектором точки M . Очевидно,

что координаты радиуса – вектора OM совпадают с координатами точки M .

Из сказанного в пункте 1 следует, что

M , P

M , P

,

O, M

O, M

.

Из аналитической геометрии на плоскости и в трёхмерном простран-

стве известно, что уравнение прямой имеет вид

M 0M

tq

t

,

(4.7)

где M 0 – точка, лежащая на этой прямой,

M –

переменная (текущая)

х х0

tg1,

(4.8)

у у0

tg2.

Здесь M x, y – текущая точка прямой, M 0

x0 , y0 – фиксирован-

ная точка этой прямой, q q1, q2 ,

t

. Уравнения (4.8) назы-

M 0M

tq

t

,

(4.9)

называется прямой в R n , проходящей через точку M 0 x10 ,..., xn0

парал-

лельной вектору q q ,..., q

n

R n

, где q – ненулевой вектор.

1

В силу пункта 1 равенство (4.9) приводит к следующим параметри-

ческим уравнениям прямой в R n :

х

х(0)

tg ,

1

1

1

.....

(4.10)

xn

xn(0)

tgn.