Материал: 5691

21

члены x2 , x3 и т.д., полагая в последнем равенстве n 1, 2,.... В более общем случае должна быть формула, по которой при заданных первых

Таким образом, последовательность имеет вид 1, 2, 4,8,16,.... Тогда получается явная формула для общего члена:

хn 2n 1.

Возникает вопрос о переходе от рекуррентного способа задания последовательности к более удобному аналитическому способу. В некоторых ситуациях, выписав по рекуррентной формуле несколько первых членов последовательности, можно уловить закономерность, по которой изменяется

общий член xn при изменении n (так случилось в последнем примере).

число. Такая рекуррентная формула задаёт арифметическую прогрессию с первым членом x1 и разностью прогрессии d . Тогда легко установить явную формулу

xn x1 (n 1)d .

Последовательность, заданная рекуррентной формулой вида xn 1 xn q (n 1, 2,...) ,

22

с известным первым членом x1 называется геометрической прогрессией со знаменателем q . Явный способ её задания такой:

xn q n 1x1 (n 1, 2,...).

Обратимся к геометрической интерпретации последовательностей. Каждую последовательность можно изобразить двумя способами. Первый

способ состоит в том, что каждый член xn последовательности изображается точкой M n на координатной прямой Ox , координатой которой является число xn (см. рис. 4).

x

Рис. 4

Если последовательность стационарна (xn a) , то она изобразится только одной точкой M (a). Если множество чисел, из которых составлена

последовательность, конечно, то она изобразится конечным числом точек на координатной прямой. Например, последовательность

метить не сможем, однако наглядное представление о такой последова-

Второй способ изображения последовательности осуществляется с помощью прямоугольной декартовой системы координат Oxy на плоско-

сти. Тогда на такой плоскости отмечаются точки M n с координатами (n, xn ) . Такое изображение можно считать графиком последовательности

23

как функции натурального аргумента. Все точки M n (n, xn ) изолированы,

т.е. отделены друг от друга. Этих точек всегда бесконечное число, т.к. аргумент n принимает все значения из множества натуральных чисел, которое бесконечно.

Поясним второй способ изображения последовательностей примерами и соответствующими рисунками.

Пусть xn a (см. рис. 6).

y

a

Рис. 6.

Изображено только пять точек. Все точки находятся на прямой y a . O

Рис. 8.

В дальнейшем в необходимых случаях общие члены последовательностей

Данное определение означает, что все действия с последовательностями выполняются поэлементно или почленно.

Найдём сумму, разность, произведение и частное последовательностей со следующими общими членами:

1 xn n , yn n .

Согласно определению 2, получим следующее:

25

Общие члены соответствующих последовательностей (суммы, разности, произведения и частного), полученные из данных, таковы:

Проведём простейшую квалификацию последовательностей. Определение 3. Последовательность xn называется ограниченной

сверху, если

МR n N : xn M .

Определение 4. Последовательность xn называется ограниченной снизу,

если

m R n N : xn m.

Определение 5. Последовательность xn называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, т.е.

Отрицание определения 6 приведёт к определению неограниченной последовательности, при этом утверждение (неравенство) надо заменить

С0 xn (xn ) : xn C.

Неограниченная последовательность может быть ограниченной или снизу, или сверху, т.е. односторонне ограниченной.

Так как любая последовательность xn может рассматриваться как множество xn , то можно говорить о inf xn и sup xn .