Документ: 5691, страницы 16-20 | База учебных материалов

16

3) 7,185000... и 7,184999...?

17.

Являются

ли

рациональными числами корни уравнения

х2

2

0 ?

18.

Изобразите на числовой оси точки с координатами:

1

;

1

;

2

2;

2; ,

2;

3;

3; 5;

5 .

19.Заполняют ли рациональные числа точками всю числовую ось? А иррациональные?

20.Между какими двумя конечными множествами можно установить взаимно-однозначное соответствие?

21.Укажите точки на координатной прямой, координаты x которых

удовлетворяют условию

х

5 .

22. Верны ли следующие утверждения:

1)

х

0,

2)

х

0

х

0,

3)

х

,

если х

0,

4)

х

,

если

х

0,

5)

х

х,

6)

х у

х

у,

7)

х у

у х

,

8)

ху

х

у

,

9)

х

a

x a,

10)

x

a

x

a ?

23. Наибольшее целое число, не превосходящее действительного

числа x , называется целой частью числа x и обозначается

x . Верны ли

неравенства

х

x

1?

24. Найдите

множества

решений

следующих

уравнений и

неравенств:

1)

х

10;

2)

х

5

10;

3)

х

10;

4)

х

10;

5)

x

10;

6)

х

10;

7)

х

5

10;

8)

x

5

10;

9)

x 5

10;

10)

x

5

10;

11)

x

x 3;

12)

2x

5

2x 5;

13)

2x

5

5;

14)

2x

5

5;

15)

x2

25

0;

16)

x2

25

0;

17)

x2

25

0;

18) x2

25

0;

			17
19) x2	5x 6 0;	20) x2	5x 6 0.

25.Среди множеств предыдущего упражнения укажите ограниченные снизу, ограниченные сверху, ограниченные, неограниченные.

26.Может ли ограниченное множество быть неограниченным снизу (неограниченным сверху)?

27.Может ли неограниченное множество быть ограниченным снизу (ограниченным сверху)?

28.Может ли числовое множество быть:

1)ограниченным сверху, но неограниченным снизу;

2)ограниченным снизу, но неограниченным сверху?

29.Ответы на вопросы упражнений 26 – 28 проиллюстрируйте примерами.

30.Запишите с помощью логических символов определения следующих понятий:

1)множества, неограниченного снизу;

2)множества, неограниченного сверху;

3)неограниченного множества.

31.Может ли конечное числовое множество быть неограниченным?

32.Следует ли из ограниченности множества его конечность? Ответ поясните примером.

33.Приведите примеры:

1)ограниченных бесконечных множеств;

2)неограниченных бесконечных множеств.

34.Являются ли ограниченными следующие множества:

1)множество Z целых чисел;

2)множество Q рациональных чисел;

3)множество I иррациональных чисел;

4)множество R действительных (вещественных) чисел?

35.Сформулируйте в виде предложений условия 1) и 2) из определений 8 и 9 данного параграфа.

36.Верны ли утверждения:

1) x X : x M sup X M , 2) x X : x m inf X m?

18

37.Какие числа являются точными границами конечных числовых множеств?

38.Укажите точные границы множеств из упражнения 24. В необхо-

димых случаях используйте записи: inf X

, sup X

.

39.Приведите примеры следующих множеств:

1)точные границы принадлежат множеству;

2)точные границы не принадлежат множеству;

3)одна точная граница принадлежит множеству, а другая ему не принадлежит.

40.Запишите точные границы числовых лучей. В каких случаях они принадлежат (не принадлежат) соответствующему множеству?

41.	Приведите примеры таких множеств X и Y , что sup X inf Y .
42.	Для каких числовых множеств inf X sup X ?
43.	Может ли выполняться неравенство sup X inf X ?

44. Применяя метод математической индукции докажите, что для n N справедливы следующие равенства:

1)	12	22			32		...		n2						n(n		1)(2n		1)	;
1)	12	22			32		...		n2								6			;
																	6
2)	13	23			33		...	n3					n2 (n				1)2	.
2)	13	23			33		...	n3								4		.
																4
		45. Методом математической индукции докажите справедливость
следующих неравенств:
1)	n			2n 1			n N;												2)		1		3	...	2n 1			1		;

																					2		4			2n		2n	1
																					2		4			2n		2n	1
		1			1			1												4) nn			1	(n		1)n
3)	1	1			1		...	1								n	n	2 ;									n	3 ;


		2			3					n
		2			3					n
5)	Среднее геометрическое n неотрицательных чисел не превосходит их
среднего арифметического:
			x1		x2		...	xn				n									x			0, k		1, 2,...,		n.
			x1		x2		...	xn						x		x	...	x	при
														x		x	...	x	при
						n					1					2		n				k
						n

19

Глава 2. Числовые последовательности

Определение 1. Если n	1,2,3,...n,... по определённому пра-
вилу или закону f ставится в соответствие единственное число		xn , то
множество занумерованных вещественных чисел x1, x2 ,..., xn ,...		называ-
ется последовательностью.

Числа, составляющие последовательность, называются её членами

(элементами), а xn – общим или n -м членом последовательности.

Характерным для каждой последовательности является установление порядка следования чисел в ней: для любого натурального n число xn 1

следует в записи за числом xn . Значение же xn 1 может быть больше, меньше, равно xn . Но если в данной последовательности изменить поря-

док следования членов, то будем иметь уже другую последовательность.

Например, числовые последовательности

1, 1,1, 1,..., 1,1, 1,1,...

являются различными, хотя и состоят из одинаковых чисел: 1 и 1.

Из данного определения следует, что последовательность есть множество xn , n . В отличие от числового множества, у которого все

элементы обязательно различны, числовая последовательность может иметь среди своих членов одинаковые. Иначе говоря, множество чисел, из которых составлена последовательность, может быть как бесконечным, так и конечным. Например, числовая последовательность с общим членом

xn	1	имеет вид
xn	n	имеет вид
	n
		1,	1	,	1		,...,	1	,...
		1,	2	,		3	,...,	n	,...
			2			3		n

	1		1		1			1
и как множество запишется так:	1,	,		,...,		,	или		, n N	.Это


	2		3		n			n

множество бесконечно, а все его члены различны, как и принято при записи числовых множеств. Числовая последовательность с общим членом

xn	1 n 1 имеет вид
	1,	1, 1,	1,...
и как множество запишется так:		( 1)n	1, n N или	1, 1, 1, 1,... .
	При обычной записи этого множества получим			1, 1 , а это множе-

ство состоит из двух элементов.

Таким образом, следует иметь ввиду, что члены последовательности

20

с разными номерами считаются различными, если даже их числовые значения совпадают.

Из определения 1 следует, что последовательность есть функция f натурального аргумента n . Область определения этой функции всегда есть множество натуральных чисел . При каждом n число xn f n есть

значение этой конкретной функции. Множество значений этой функции есть подмножество множества действительных чисел R . Как видно из примеров, множество значений последовательности как функции может быть как конечным, так и бесконечным.

Перейдём к описанию способов задания последовательностей. Прежде всего последовательность можно задать словесным описани-

ем закона соответствия		f . Например, требуется записать последователь-
ность, каждый член которой есть приближение по недостатку к					иррацио-

нальному	числу	2 .	Эта	последовательность	такова:

1; 1,4 ;1,41; 1,414; 1,4142;...Здесь невозможно выписать формулу для об-

щего члена.

Последовательность может быть задана табличным способом:

n	1	2	3	…
xn	x1	x2	x3	…

Иногда по такой таблице может быть установлена закономерность изменения общего члена с изменением аргумента n , хотя выписана только часть членов последовательности. Например, по таблице

n	1	2		3	4		…
xn	1	1	2	1	1	4	…
			2	3		4

становится понятным, что формула члена имеет вид

1

хn n .

Наиболее удобным и применяемым является аналитический способ, т.е. задание последовательности при помощи явной формулы, указывающей, как по номеру n вычислить член xn с этим номером:

		xn f n .
(	1)n 1
Например, если хn		, то последовательность имеет вид
Например, если хn	n	, то последовательность имеет вид
	n

1, – 12 , 13 , 14 , 15 , …

Часто употребляется рекуррентный способ задания последовательностей. При этом способе должно быть соотношение вида

xn 1 f (xn ) ,

которое позволит при заданном первом члене x1 находить последующие

Материал: 5691

Смотрите также: