Материал: Kolotov(ed)-Evraz-duga

Евразийская дуга нестабильности и проблемы региональной безопасности

Х1 + …+ Х׀К׀ < C (K) или Х1 + …+ Х׀К׀ > C (N) — C (N — K).

Здесь функция C (K) является субаддитивной. Для супераддитивной функции двойственная модель описывается следующим образом. Рассмотрим для этого ситуацию, когда государства, образующую коалицию (К), планируют договориться проводить согласованную социально-экономическую политику. Предполагается, что объединение в коалицию выгодно всем государствам, поскольку при этом увеличивается средний доход на каждого члена коалиции (это следствие супераддитивности функции дохода коалиции C (K)). Точкой общественного согласия (точкой ядра) будет называться такое распределение дохода Х, для которого выполняется неравенство

Х1 + …+ Х׀К׀ > C (K) для всех коалиций K из N.

Содержательный экономический смысл точки ядра заключается

втом, что от этого распределения ни у одного из агентов или у коалициинетобоснованногопобужденияотклониться,таккакэтоможет лишьуменьшитьихдоход.Вэтомсмыслеточкаобщественногосогласия экономически устойчива. Недостатком данного подхода является то, что эта точка общественного согласия (и соответствующее реальное состояние) может не существовать. Гарантировать существование общественно приемлемых решений (состояний системы) можно

врамках несколько иных систем постулатов. Рассмотрим два из них. Допустим, что каждая группа агентов K из множества N декларирует образованиеустойчивогообъединениясвоихчленовивыделение«дивиденда» D (K), который получается в ходе распределения поровну междучленамикоалицииK разностимеждуее«потенциалом»(полезностью)исуммарнымизаявкаминадивидендысосторонывсехгрупп агентов коалиции K. Формула для дивиденда тогда будет выглядеть следующимобразом:

D(K) = 1/K(C(K) — t D(T)).

Общая полезность агента равна, по определению, сумме всех его дивидендов. Оказывается, что такое распределение дополнительной полезности, полученное за счет объединения агентов. Для

130

Глобальные аспекты безопасности в Евразии

точки и состояния ядра можно доказать его существование и единственность в рамках строгой математической модели.

Предположим теперь, что распределение Φ(C) дополнительной полезности, полученной за счет объединения агентов, является эффективным (паретовским); иначе говоря, выполняется равенство: Φ(C)(N) = C(N), которое удовлетворяет условию симметрии (не меняется при перестановке номеров агентов), не зависит от масштаба и от величины начальных капиталов агентов, а также удовлетворяет принципу «кто не вносит вклад в функцию полезности коалиций C(K), тот не получает при распределении коалиционной полезности ничего». Это приводит к доказательству того, что для всякой функции полезности коалиций C(K) существует единственный вектор распределения полезности Φ(C), называемый вектором Шепли, т. е. принцип оптимальности распределения выигрыша между игроками в задачах теории кооперативных игр. Вектор Шепли, представляя собой распределение, в котором выигрыш каждого игрока равен его среднему вкладу в благосостояние тотальной коалиции при определенном механизме ее формирования, удовлетворяет следующим свойствам:

1. Линейность. Отображение Φ(v) представляет собой линейный оператор, т. е. для любых двух игр с характеристическими функциями v и w

Φ(v + w) = Φ(v) + Φ(w);

и для любой игры с характеристической функцией v и для любого α

Φ(αv) = αΦ(v) .

2.Симметричность. Получаемый игроком выигрыш не зависит от его номера. Это означает, что если игра w получена из игры v перестановкой игроков, то ее вектор Шепли Φ(w) есть вектор Φ(v)

ссоответствующим образом переставленными элементами.

3.Аксиома болвана. Болваном в теории кооперативных игр называется бесполезный игрок, не вносящий вклада ни в какую коа-

131

Евразийская дуга нестабильности и проблемы региональной безопасности

лицию, т. е. игрок i, такой что для любой коалиции K, содержащей i, выполнено:

v (K) – v (K \ i) = 0.

Аксиома болвана состоит в том, что если игрок i — болван,

то Φ(v)i = 0.

4.Эффективность.ВекторШеплипозволяетполностьюраспределить имеющееся в распоряжении тотальной коалиции благосостояние, т. е. сумма компонент вектора Φ(v) равна v(N).

Из этих аксиом вытекает формула для вычисления вектора Шепли:

гдеn —количествоигроков,k —количествоучастниковкоалицииK.

Изложенный выше материал дает основание утверждать своевременность включения соответствующих разделов теории игр

втеоретические основания глобальной геополитики с целью выявления механизмов взаимодействия акторов мировой политики

вусловиях формирования полицентричного мира. Эти операции органично связаны с моделированием геополитической динамики, учитывающейдемографические,технологические,экономические и военные факторы.

Моделирование глобальной геополитической динамики.

К математическим началам глобальной геополитики, наряду с теорией игр, необходимо отнести методологию динамического моделирования макросоциальных процессов, которая неизбежно оказывает влияние на эволюцию прикладных разделов теории игр, начиная от игр с нулевой суммой и вплоть до «цивилизационных игр», учитывающих многочисленные нематериальные факторы развития социума. Начнем с сопоставления вариантов мирового развития на ближайшие четверть века, которое будет характеризоваться экономической и политической турбулентностью, предполагающей отмеченные в табл. 3 варианты мирового развития.

132

Евразийская дуга нестабильности и проблемы региональной безопасности

ПомнениюсоставителяэтойтаблицыС.Ю.Малкова,наиболее вероятным следует считать третий вариант перспективного развития. Базовая модель региональной динамики охватывает связи в сфере демографии, технологий и культуры между двумя кластерами — «Центр» и «Периферия» и представляется следующей системой уравнений:

«Центр» «Периферия»

——dNp = a T N (1 — E ) — a´N C (1)

dt p p p p p N

В этих уравнениях N — численность населения; T — уровень технологий; E — образованность; Y — региональный ВВП; a, b, c, a´, b´, c´ — структурныекоэффициенты;Ci = Ci(T, E, Y)—функция связи в i-й сфере; e — доля работающих в общей численности населения; индекс c показывает, что соответствующая величина характеризует «Центр»; индекс p показывает, что соответствующая величина характеризует «Периферию». Структура представленных выше уравнений для «Центра» и для «Периферии» повторяет структуру базовой модели мировой динамики:

134