Материал: Kont_v_Str-PP_ME_1

Задача 1.7. Рассчитайте для T = 300 К удельную электропроводность собственного кремния и невырожденного кремния, легированного донорной примесью, полагая, что на каждые 106 атомов кремния приходится 1 ионизированный атом примеси. Учтите, что в 1 см3 кристаллического кремния содержится 5 ∙ 1022 атомов и при T = 300 К ионизирован 1 из 1012 атомов.

Дополнительные сведения и пояснения. В условиях термодинамического равновесия для невырожденных полупроводников справедливо соотношение:

где pn и np – значения концентрации дырок в полупроводнике n-типа и элек-

тронов в зоне проводимости полупроводника p-типа. Соотношение (1.7) называют законом действующих масс.

Удельная электропроводность полупроводника при наличии в нем двух типов носителей зарядов (электронов зоны проводимости и дырок) определяется по формуле

e n n p p ,

где n и p – подвижность электронов и дырок. Численные значения n и

p приведены в прил. 2.

Задача 1.8. Определите минимальные значения концентрации основных носителей заряда, соответствующие при T = 300 К условию вырождения германия, кремния и арсенида галлия n- и p-типа проводимости.

Дополнительные сведения и пояснения. Электроны зоны проводимости в полупроводниках n-типа и дырки в полупроводниках p-типа называют основными носителями заряда. В вырожденном полупроводнике n-типа концентра-

где mn – эффективная масса электрона зоны проводимости. Концентрация ос-

новных носителей в вырожденном полупроводнике p-типа вычисляется по формуле

где m p – эффективная масса дырок. Значения mn и m p для указанных в усло-

виях задачи полупроводников приведены в прил. 2 [1].

11

Задача 1.9. Постройте графики зависимостей подынтегральных функций выражений (1.2) и (1.3) от значений энергий для собственного кремния, полагая

Задача 1.10. Какой вид имеют графики подынтегральных функций выражений (1.2) и (1.3), если кремний легирован донорной примесью так, что уровень Ферми на ЭД располагается на 0.2 эВ ниже дна зоны проводимости?

Задача 1.11. Как изменится вид графиков подынтегральных функций выражений (1.2) и (1.3) при введении в собственный полупроводник акцепторной примеси?

Задача 1.12. Чем отличается вид графиков подынтегральных выражений (1.2) и (1.3) в вырожденном и невырожденном полупроводниках?

2. ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ДИАГРАММА ПРИ НАЛИЧИИ В КРИСТАЛЛЕ МАКРОСКОПИЧЕСКОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Энергетические диаграммы электронов, приведенные ранее, соответствуют термодинамическому равновесию, т. е. отсутствию в кристалле градиентов величин, характеризующих его макроскопическое состояние. В полупроводниковых приборах это условие, как правило, не выполняется из-за наличия электрического поля, описываемого макроскопическим распределением скалярного электрического потенциала φ(x). Благодаря этому все значения энергии электронов в кристалле, определенные в условиях термодинамического равновесия, изменяются на величину qφ(х), т. е. вид ЭД зависит от вида φ(х). При наличии причин, вызывающих неоднородность φ(х), для построения ЭД необходимо сначала определить вид этого распределения. В полупроводниковых кристаллах оно должно удовлетворять уравнению Пуассона:

12

где ρ(х) – плотность объемного заряда; ε – относительная диэлектрическая проницаемость.

Решение уравнения (2.1) с учетом процессов дрейфа и диффузии подвижных носителей заряда при достаточно общей постановке задачи осложняется его нелинейностью. Существенное упрощение процедуры определения вида φ(х) достигается в тех случаях, когда на основе физических соображений может быть постулирована функция ρ(х).

При неоднородном распределении потенциала уровень Ферми как параметр ЭД, характеризующий термодинамически равновесное состояние кристалла, утрачивает свой изначальный смысл. В данном случае для наглядного отображения на ЭД значений концентрации электронов зоны проводимости и дырок валентной зоны используют так называемые «квазиуровни Ферми» для электронов EF n и дырок EF p . Их положения относительно границ запрещен-

ной зоны определяются из (1.3) и (1.4), в которых значения п и р полагаются известными в результате анализа неравновесного состояния кристалла. При этом возможны ситуации, для которых в одной и той же области кристалла

EF n EF p , что означает существенное отличие вида функции распределения

электронов от функции Ферми–Дирака. В таких ситуациях говорят о расщеплении уровня Ферми на два квазиуровня.

Для невырожденных полупроводников с помощью квазиуровней Ферми оказывается возможным отобразить на ЭД не только неравновесные значения концентрации носителей заряда, но и значение протекающего по кристаллу тока, а именно:

Естественно, что при переходе кристалла от неравновесного состояния к равновесному квазиуровни Ферми сливаются с уровнем Ферми.

Задача 2.1. Изобразите энергетические диаграммы кремния п-типа проводимости при отсутствии (j(x) = 0) и при наличии в нем однородного распре-

деленного электрического потенциала φ(х) = 0 = 0,5 В.

Решение. Вид диаграмм представлен на рис. 2.1. При φ(х) = 0 положение и вид ЭД соответствуют условиям термодинамического равновесия (см. рис. 1.4, а). Наличие в полупроводнике однородно распределенного потенциала приводит к смещению всех элементов ЭД на −0,5 эВ по оси значений энергии. При этом относительное расположение элементов ЭД сохраняется.

13

Задача 2.2. Изобразите ЭД однородного электронейтрального полупроводника п-типа проводимости, находящегося под воздействием разности по-

тенциалов x1 x2 .

Дополнительные сведения и пояснения. Условия задачи иллюстрирует рис. 2.2. Наличие разности потенциалов создает в полупроводнике ток, плот-

ность которого равна jn . Электронейтральность полупроводника (ρ = 0) обес-

печивается равенством концентрации электронов зоны проводимости своему равновесному значению. Необходимое для построения ЭД распределение электрического потенциала следует в данном случае получить интегрирова-

нием (2.1) при ρ(х) = 0 и граничных условиях x1 1, x2 2 .

Решение. Результат интегрирования (2.1) для данных условий имеет вид

Энергетическая диаграмма, соответствующая такому распределению электрического потенциала, представлена на рис. 2.2. Положение на ЭД квазиуровня Ферми определено с учетом электронейтральности полупроводника и удовлетворяет условиям EF n EF , EC EF n const . Постоянство произ-

водной dEF n отражает на ЭД неизменность плотности тока в различных се- dx

чениях полупроводника.

Угол наклона уровней, образующих ЭД, определяется длиной участка по-

лупроводника x2 x1 и величиной приложенной к нему разности потенциалов

1 2 (см. (2.2), (2,3)).

14

Задача 2.3. Определите вид распределения электрического потенциала в образце однородно легированного полупроводника п-типа проводимости, в котором из поверхностного слоя толщиной W полностью удалены электроны зоны проводимости (п = 0) и постройте соответствующую энергетическую диаграмму.

Дополнительные сведения и по-

яснения. Условия задачи приведены на рис. 2.3, а, б. В пределах слоя, обедненного электронами, распределение объемного заряда однородно и имеет плотность, определяемую концентрацией ионизированных атомов

обедненного слоя (х > W) концентрация электронов соответствует равновесной п0 и, следовательно, полупроводник является электронейтраль-

ным, т. е. n0 ND и ρ = 0 (рис. 2.3, в).

Задача определения вида распределения φ(х) сводится в данном случае к интегрированию уравнения Пуассона для обедненного слоя и остального объема полупроводника при следующих граничных условиях: при х = W потенциал φ(х) и напряженность электрического поля Е(х) являются не-

прерывными функциями координаты х; при x→∞ φ(х) = 0 и E(x) = 0. Последнее означает отсутствие тока через рассматриваемый образец.

Положение квазиуровня Ферми на ЭД должно в данном случае удовле-

творять следующим условиям: dEF n 0 (ток равен нулю) при 0 < х < W; dx

EF n EF (концентрация электронов зоны проводимости соответствует равно-

весному значению) при х > W. При х = W должны удовлетворяться оба эти условия.

15