Учебное пособие: Matlab Пособие

Изучите материал Темы 1.3 (п.п. 1.3.1 – 1.3.5).
Выберите индивидуальное задание из табл. 1.3.6-1.
Разработайте m-функции для реализации стандартных алгоритмов: вычисления конечных сумм, разветвлений, поиска минимума и максимума в последовательности данных и т.п.
Введите и сохраните m-функции на внешнем носителе.
Создайте новый script-файл, в который введите код программы, описывающий логику решения поставленной задачи.
Сохраните script-файл в текущем каталоге.
Произведите отладку script-файла, запуская его на выполнение из текстового редактора командой Run.
Подготовьте и введите исходные данные для решения поставленной задачи;
Выполните script-файл из командной строки окна Command Window.
Сохраните текст рабочего окна на внешнем носителе.
Предоставьте результаты работы преподавателю, ответьте на поставленные вопросы.
Выполните команду clear all для очистки Рабочей среды.
Оформите отчет по выполненной работе.

Варианты индивидуальных заданий

Таблица 1.3.6-1

№	Задание
1	Ввести натуральное число nи вектор действительных чисел Найти: где
2	Вычислить где
3	Задать массив , состоящий из четного количества элементов. Каждая пара чисел , где i+1 кратно двум, задает координаты вершины ломаной. Построить ломаную, соединив при этом последнюю вершину с первой
4	Ввести натуральное число n и вектор действительных чисел . Вычислить произведение , где
5	Ввести натуральное число n и действительное число х. _{Вычислить}
6	Ввести натуральное число n. Найти наибольшее среди значений , где k=1, 2,…,n, а также сумму всех полученных значений
7	Ввести натуральное число n. Среди значений , где (i=1,2,…n), найти все положительные и вычислить их сумму
8	Ввести натуральное число n и вектор действительных чисел . Определить, положительных или отрицательных чисел в векторе больше, и определить наибольшее из отрицательных и наименьшее из положительных чисел
9	Ввести матрицу B(5,7) и сформировать из первых наибольших элементов строк вектор С(5). Вывести его элементы в строку и столбец
10	Сформировать вектор по правилу: , где k=2,3,…, 7, если Найти сумму квадратов тех чисел, которые не превосходят 2
11	Ввести натуральное число n и вектор действительных чисел . Найти количество двух соседних положительных чисел и двух соседних чисел разного знака
12	Ввести квадратную матрицу А(4,4). Сформировать из максимальных элементов ее столбцов вектор X, вывести его элементы на экран в прямой и обратной последовательности
13	Ввести вектор целых чисел . Преобразовать его таким образом, чтобы сначала располагались нули, затем все остальные элементы. Определить сумму и количество элементов, значения которых кратно 5
14	Ввести вектор вещественных чисел . Создать из него массив x, каждый элемент которого максимальный из трех элементов, идущих подряд в массиве z
15	Сформировать матрицу А(4,4) по правилу: Найти и вывести значения и индексы двух одинаковых элементов. Если таковых не окажется, вывести сообщение
16	Сформировать матрицу D(3,2) по правилу: _. Создать вектор из отрицательных элементов полученной матрицы
17	Задать натуральное число n. Посчитать, какая из матриц размером n на n содержит больше положительных элементов, если их элементы формируются по правилу: Вывести на экран сформированные матрицы
18	Ввести квадратную матрицу вещественных чисел А(4,4). Найти сумму наибольших значений элементов ее строк. Сформировать новую матрицу В(4,4) путем умножения каждого элемента матрицы А на найденную сумму и делением его на определитель исходной матрицы
19	Ввести матрицу вещественных чисел А(4,7) и получить из нее вектор С(4), элементы которого это: наибольший из элементов в первой строке; наименьший из элементов во второй строке; среднее арифметическое элементов третьей строки; сумма элементов четвертой строки
20	Ввести натуральное число n и матрицу вещественных чисел С(n,n). Найти среднее арифметическое наибольшего и наименьшего значений ее элементов и, заменив этим значением диагональные элементы, вывести матрицу С на экран
21	Ввести натуральные числа k1, k2 и действительную матрицу размера 8х4. Поменять в матрице местами элементы k1 и k2 строк
22	Ввести натуральное число n и матрицу вещественных чисел С(n,9). Найти среднее арифметического каждого из столбцов, имеющих четные номера
23	Ввести векторы действительных чисел x(5), y(6),z(7). Вычислить величину t по следующему алгоритму:
24	Ввести векторы действительных чисел x(5). Получить для х=1, 3, 4 значения где
25	Ввести векторы действительных чисел x(10). Получить из него другой массив p(10), элементы которого упорядочены по возрастанию
26	Ввести матрицу вещественных чисел А(3,4). Заменить элементы строки матрицы с максимальной суммой значений элементов – единицами, с минимальной - двойками, а остальные элементы матрицы положить равными нулю
27	Сформировать матрицу А(4,4) по правилу Удалить из него столбцы, содержащие элементы, меньшие 10
28	Сформировать матрицу В(9,3) по правилу Определить наименьший элемент в каждой строке матрицы и записать его в соответствующий элемент вектора С. Вывести полученный вектор С
29	Ввести матрицу вещественных чисел А(3,4), все элементы которой различны. В каждой строке следует выбрать наибольшее и наименьшее значения, а сумму индексов столбцов, в которых они расположены, записать в соответствующий элемент вектора С(3)
30	Ввести матрицу вещественных чисел А(4,4). Получить последовательности элементов главной и побочной диагонали, создать из этих элементов векторы B(4) и C(4) и вывести их на экран

Содержание отчета

В форме комментариев:

Название лабораторной работы
ФИО студента, номер группы
№ варианта
Индивидуальное задание

Протокол вычислений (сессии) в окне Command Window, снабженный необходимыми комментариями.

1.3.7. Контрольные вопросы по теме

Что такое script-файл и каковы его особенности?
Каким образом script-файл запускается на выполнение?
Что такое m-функция?
В чем отличие script-файла от m-функции?
Может ли m-функция иметь несколько выходных параметров?
Обращение к m-функции.
Формат оператора input().
Как с использованием оператора if…end реализовать стандартное, усеченное и вложенное разветвление?
Формат оператора множественного разветвления switch.
Формат оператора регулярного цикла for…end, особенности задания значений переменной цикла.
Назначение операторов continue и brek.
Оператор итеративного цикла while…end и его структура.

Раздел 2. Технология решения
вычислительных задач средствами MatLab

Тема 2.1. Решение нелинейных уравнений

2.1.1. Численное решение нелинейных уравнений

2.1.2. Лабораторная работа по теме

2.1.3. Контрольные вопросы по теме

2.1.1. Численное решение нелинейных уравнений

В общем виде уравнение можно представить, как f(x) = 0. В зависимости от вида функции f(x) различают алгебраические и трансцендентные уравнения.

Алгебраическими уравнениями называются уравнения, в которых значение функции f(x) представляет собой полином n-й степени (n≥2). Всякое неалгебраическое уравнение называется трансцендентным. Функция f(x) в таких уравнениях содержит хотя бы одну из следующих функций: показательную, логарифмическую, тригонометрическую или обратную тригонометрическую.

Решением уравнения f(x)=0 называется совокупность корней , при которых уравнение обращается в тождество . Однако, точные значения корней могут быть найдены аналитически только для некоторых типов уравнений. Еще меньше возможностей при получении точного решения трансцендентных уравнений. Следует отметить, что задача нахождения точных значений корней не всегда корректна. Так, если коэффициенты уравнения являются приближенными числами, точность вычисленных значений корней заведомо не может превышать точности исходных данных. Эти обстоятельства заставляют рассматривать возможность отыскания корней уравнения с ограниченной точностью (приближенных корней).

З адача нахождения корня уравнения с заданной точностью  (>0) считается решенной, если найдено приближенное значение , которое отличается от точного значения корня не более чем на значение :

Для отделения корней нелинейных уравнений применяются графический и аналитический методы. Для уточнения корней с заданной степенью точности существует множество численных методов. Самыми распространенными из них являются: метод Ньютона, метод хорд, метод итераций и метод половинного деления [3].

Процесс нахождения приближенного корня нелинейного уравнения состоит из двух этапов:

отделение корня уравнения (локализация корня на отрезке);
уточнение корня с заданной точностью.

Пример 2.1.1-1. Отделить и уточнить корень уравнения .

Согласно теореме о существовании и единственности корня на отрезке, найдем отрезок, на концах которого функция имеет разные знаки, а первая производная непрерывна и знакопостоянна (рис. 2.1.1-1).

Рис. 2.1.1-1. Отделение корня нелинейного уравнения

Условия существования и единственности корня на отрезке [0;1] выполняются. Команды построения графика функции f(x) на отрезке [0;1] и график функции приведены на рис. 2.1.1-2.

Рис. 2.1.1-2. Построение графика функции f(x)

Для решения нелинейных уравнений в среде Matlab используются встроенные функции: solve(), fzero(), root().

Функция fzero() используется для нахождения вещественных корней уравнений вида f(х)=0. Алгоритм, реализованный этой функцией, представляет собой комбинацию метода дихотомии (деления пополам), метода секущих и метода обратной квадратичной интерполяции. В простейшем варианте обращения кроме указателя на функцию, корень которой необходимо найти, задается окрестность х0, с которой начинается поиск: х = fzero(f, x0).

Аргумент f может быть задан одним из следующих способов:

формулой с неизвестным х, заключенной в апострофы;
именем m-файла (в апострофах и без расширения m);
указателем на функцию (например, @f_name).

Следует отметить, что выражение, заключенное в апострофы (левая часть уравнения) в качестве независимой переменной может иметь переменную только с именем х. Использование независимой переменной с другим именем вызовет сообщение об ошибке.

Аргумент х0 может быть задан одним из двух способов:

вектором [a;b], на концах которого функция f(x) меняет знак, что гарантирует нахождение, по крайней мере, одного корня на этом интервале;
скалярным значением, в окрестности которого предполагается нахождение корня (в этом случае функция fzero() сама пытается найти отрезок с центром в заданной точке х0, на концах которого функция f(x) меняет знак).

Из графика (рис. 2.1.1-2) следует, что корень находится на интервале [0;1]. Используем полученную информацию и обратимся к функции Matlab fzero(). При этом если мы хотим получить не только значение корня, но и узнать значение функции в найденной точке, то к функции Matlab fzero() можно обратиться с двумя выходными параметрами. На рис. 2.1.1-3 рассмотрено обращение к функции fzero() как с одним, так и с двумя выходными параметрами.

Рис. 2.1.1-3. Уточнение корня уравнения с использованием функции fzero()

Вместо явного задания выражения для функции f(x) можно создать соответствующую функцию, запомнив ее в виде m-файла (рис. 2.1.1-4).

Рис. 2.1.1-4. Описание левой части в виде m-файла

Для символьного (аналитического) решения уравнений в MatLab используется функция solve(), которая может иметь следующие форматы:solve('f(x)',x),solve('f(x)'), где 'f(x)'– левая часть решаемого уравнения, заключенная в апострофах; x – искомая символьная неизвестная (описанная как syms x).

Рассмотрим технологию определения корня с помощью функции solve() на следующем примере (рис. 2.1.1-5).

Пример 2.1.1-2. Решить уравнение 2^x–4∙x+3=0 аналитически.

Рис. 2.1.1-5. Уточнение корня уравнения с использованием функции solve()

Функция solve() в ряде случаев позволяет определить все корни уравнения f(x)=0. Она не требует информации о начальном значении корня или области его изоляции. Поэтому в случае решения ряда нелинейных уравнений, она не находит всех корней уравнения.

Функция Matlab roots() используется для вычисления корней полинома вида . Перед ее использованием создается список коэффициентов (даже нулевых), а затем вводится сама функция roots(), у которой в качестве аргумента указывается имя списка коэффициентов (рис. 2.1.1-6).

Рис. 2.1.1-6. Уточнение корня уравнения с использованием функции roots()

Вычисление корней полинома с использованием команды roots(а) показало, что у полинома есть четыре действительных корня: х₁=-1, x₂=1, x₃=2, x₄=8 и два мнимых корня x₅=i и x₆=-i.

2.1.2. Лабораторная работа по теме

«Технология решения нелинейных уравнений
средствами пакета MatLab»

1. Вопросы, подлежащие изучению

Задание функций и их производных с использованием средств пакета Matlab.
Получение таблиц значений функций в заданных границах изменения аргумента.
Построение графиков функций средствами Matlab.
Этапы решения нелинейных уравнений: отделение и уточнение корня.
Решение нелинейных уравнений с использованием встроенных функций пакета Matlab: fzero() и solve().

2. Общее задание

Изучите материал Темы 2.1 (п. 2.1.1).
Выберите индивидуальный вариант задания из табл. 2.1.2-1.
Отделите корень нелинейного уравнения f(x)=0 с использованием средств пакета Matlab, для чего:

Постройте графики функции f(x) и ее первой производной;
на выбранном отрезке пересечения графика с осью ОХ получить таблицы значений функции f(x) и ее первой производной;
проверить условие существования единственного корня на выбранном отрезке;

Решите нелинейное уравнение с использованием функций fzero() и solve();
Предъявите результаты выполнение задания на ПК преподавателю.

Варианты индивидуальных заданий

Таблица 2.1.2-1

№	Уравнение	№	Уравнение
1		16
2	=0	17
3		18
4	=0	19
5		20
6		21
7		22
8	=0	23
9		24
10		25
11		26	=0
12		27
13		28
14		29
15	=0	30

Содержание отчета

В форме комментариев:

Название лабораторной работы
ФИО студента, номер группы
№ варианта
Индивидуальное задание

2) Протокол вычислений (сессии) в окне Command Window, снабженный необходимыми комментариями.

2.1.3. Контрольные вопросы по теме

Что называется, нелинейным уравнением?
Этапы решения нелинейного уравнения.
Графическое отделение корней нелинейного уравнения средствами Matlab.
Аналитическое отделение корней нелинейного уравнения средствами Matlab.
Способы задания функции нелинейного уравнения.
Назначение и формат функции fzero().
Назначение и формат функции solve().
Назначение и формат функции roots().

Тема 2.2. Технология аппроксимации
интерполяции функций в среде пакета MatLab

2.2.1. Аппроксимация и интерполяция функций

2.2.2. Лабораторная работа по теме «Технология аппроксимации

интерполяции функций в среде пакета MatLab»

2.2.3. Контрольные вопросы по теме

2.2.1. Аппроксимация и интерполяция функций

Пусть имеется набор узловых точек x_k (где k=1,2,…,n) и значения функции y(x_k) в этих точках, а также некоторая функция f(x,a₁, a₂, …,a_m), которая кроме аргумента х зависит еще и от параметров a_s(где s=1, 2, …m). Задача аппроксимации состоит в том, чтобы подобрать такие значения параметров a_s, что функция f(x, a₁, a₂, …a_m) наилучшим образом описывала бы исходную функцию. Как правило, m<<n, поэтому добиться, чтобы функция f(x, a₁, a₂, …a_m) давала точные результаты даже в узловых точках не удастся. Нужен критерий, который оценивает точность аппроксимации таблично заданной функции. Например, в методе наименьших квадратов в качестве такого критерия используется среднеквадратическое отклонение

Источник: https://files.student-it.ru/previewfile/529

Смотрите также:




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога