Учебное пособие: Matlab Пособие

.

Частным случаем задачи аппроксимации является задача интерполяции функции. В этом случае также имеем набор узловых точек x_k (где k=1,2,…,n) и значения функции y_k в этих точках. Однако, в соответствии с критерием интерполяции, требуется построить такую функцию f(x), которая в узловых точках x₁, x₂,…,x_n принимала бы значения y₁, y₂, …,y_n, то есть f(x_k) = y_k для всех k от 1 до n.Чаще всего функцию f(x) ищут в виде полинома, степень которого n-1. Поэтому задача сводится к определению коэффициентов интерполяционного полинома на основании значений функции в базовых точках.

На практике для решения задачи интерполяции (вычисления значений функции в точках, несовпадающих с узлами интерполяции) используются интерполяционные формулы Ньютона и формула Лагранжа [1].

Для выполнения полиномиальной аппроксимации в MatLab используется функция polyfit(). Эта функция предназначена для выполнения аппроксимации методом наименьших квадратов. Функция polyfit(x,y,n) возвращает вектор коэффициентов полинома степени n, который с наименьшей среднеквадратичной погрешностью аппроксимирует функцию, заданную таблично. Результатом является вектор ­строка длиной n+1, содержащий коэффициенты полинома в порядке уменьшения степеней. Аргументами функции являются список узловых точек, список значений интерполируемой функции в этих точках и степень интерполяционного полинома. Как правило, степень полинома много меньше количества узлов (m<<n). В качестве результата возвращается список коэффициентов аппроксимирующего полинома.

Ниже приведены пример линейной и кубической аппроксимации функции, заданной таблицей (рис. 2.2.1-1), и графики аппроксимирующих функций (рис. 2.2.1-2).

Рис. 2.2.1-1. Пример линейной и кубической аппроксимации функции

Рис. 2.2.1-2. Графики исходной и аппроксимирующих функций

Чтобы результатом выполнения функции Matlabpolyfit() был именно интерполяционный полином, необходимо, чтобы степень этого полинома была на единицу меньше количества узловых точек.

Пример 2.2.1-1. Используя в качестве узлов интерполяции
x=-5,-4…5, построить полином, интерполирующий функцию .

Выполняя команды Matlab в окне Command Window, получим таблицу значений функции и проведем ее интерполяцию с использованием функции Matlab polyfit() (рис. 2.2.1-3). Графики интерполяционных узлов и интерполяционного полинома приведены на рис. 2.2.1-4.Здесь для вычисления значений полинома в точках используется функция polival(p,z), где вектор z покрывает интервал интерполяции и даже выходит за его пределы.

Рис. 2.2.1-3. Интерполяция таблично заданной функции

с использованием функции Matlab polyfit()

Рис. 2.2.1-4. Графики интерполируемой и интерполирующей функций

При большом количестве базовых точек интерполяция полиномом может оказаться малопродуктивной, поэтому нередко используют интерполяцию сплайнами. Идея сплайн-интерполяции состоит в разбиении диапазона интерполирования на отрезки, в пределах которых используются разные функции одного вида (чаще всего алгебраические многочлены). Эта функция и ее несколько производных на всем диапазоне интерполяции непрерывны. В результате имеем кусочно-гладкую интерполяционную зависимость.

Сплайн-интерполяцию можно реализовать с помощью функции Matlabinterp1(). В качестве аргументов функции передают: набор узловых точек аргумента, значения функции в этих точках, список значений точек, для которых вычисляется значения интерполяционной зависимости и, наконец (в апострофах), тип базового полинома (табл. 2.2.1-1).

Таблица 2.2.1-1

Рассмотрим пример использования функции Matlab interp1().

выполнить сплайн-интерполяцию с использованием полиномов нулевой, первой и третьей степени, и получить значения функции в точке х=0.58.

Рис. 2.2.1-5. Вычисление функции в точке х=0.58

На рис. 2.2.1-6 и 2.2.1-7 приведены команды, необходимые для проведения интерполяции таблично заданной функции и построения графиков интерполируемой функции и интерполирующих ее интерполяционных многочленов различных степеней.

Рис. 2.2.2-6. Команды построения графиков интерполяционных функций

Рис. 2.2.2-7. Графики интерполирующих функций

2.2.2. Лабораторная работа по теме

«Технология аппроксимации интерполяции функций»

1. Вопросы, подлежащие изучению

1. Задание векторов и матриц в пакете Matlab.

2. Технология аппроксимации функции, заданной таблично, с использованием функций polyfit().

3. Технология линейной, кубической и сплайн-интерполяции таблично заданной функции с использованием функций interp1().

4. Получение интерполяционных многочленов в явном виде.

5. Построение графиков аппроксимирующих и интерполирующих функций.

2. Общее задание

1. Изучите материал Темы 2.2. (п. 2.2.1).

2. Выберите индивидуальное задание: номера узлов и номер аппроксимируемой функции из табл. 2.2.2-1; узлы аппроксимации и значения функции в узлах из табл. 2.2.2-2.

3. Задайте в виде векторов значения узлов и значения функции в выбранных узлах.

4. Вычислите коэффициенты аппроксимирующих функций для линейной, квадратичной и кубической аппроксимации с использованием функции polyfit() и получите три аппроксимирующие функции в явном виде.

5. Получите с использованием этих функций значение аппроксимирующей функции в произвольной точке, принадлежащей отрезку, но не совпадающей с узлами аппроксимации, и сравните полученные результаты.

6. Постройте графики табличной и трех аппроксимирующих функций в одном шаблоне, снабдив их легендой.

7. Проведите линейную и кубическую интерполяцию функции с использованием функции interp1(), заданной таблично. Получив значения интерполирующей функции в точке, не совпадающей с узлами интерполяции, сравните полученные результаты.

8. Постройте графики табличной и двух интерполирующих функций в одном шаблоне, снабдив их легендой.

9. Представьте результаты работы преподавателю, ответьте на поставленные вопросы.

10. Выполните команду clear all.

11. Оформите отчет по выполненной работе.

3. Варианты заданий
   
   

Таблица 2.2.2-1

Таблица 2.2.2-2

4. Содержание отчета

1. В форме комментариев:

• Название лабораторной работы

• ФИО студента, номер группы

• № варианта

• Индивидуальное задание

2. Протокол вычислений (сессии) в окне Command Window, снабженный необходимыми комментариями.

2.2.3. Контрольные вопросы по теме

1. Что такое аппроксимация функции и в каких случаях она используется?

2. В чем отличие аппроксимации от интерполяции?

3. Какой метод аппроксимации реализован в функции polyfit()?

4. Что служит результатом выполнения функции polyfit()?

5. Для чего предназначена функция polyval()?

6. Назначение и формат функции interp1()?

7. Каким параметром определяется тип интерполяции в функции interp1()?

Тема 2.3. Технология интегрирования
в среде MatLab

2.3.1. Вычисление неопределенных и определенных интегралов

2.3.2. Лабораторная работа по теме «Технология интегрирования

в среде MatLab»

2.3.3. Контрольные вопросы по теме

2.3.1. Вычисление неопределенных и
определенных интегралов

При вычислении определенных интегралов первообразную функцию F(x) не всегда удается выразить аналитически, а кроме того иногда подынтегральная функция f(x) задана в виде таблицы (x_i и y_i, где i = 1, 2, …, n). Это приводит к необходимости использования численных методов интегрирования.

Существует ряд методов численного интегрирования. Во всех этих методах вычисление осуществляется по приближенным формулам, называемым квадратурами.

Суть получения формул численного интегрирования состоит в том, что на элементарных отрезках интегрирования подынтегральную функцию заменяют простейшим интерполяционным полиномом, который легко может быть проинтегрирован в аналитическом виде. Так, например, для получения формул прямоугольников, трапеций и Симпсона используют полиномы соответственно нулевой, первой и второй степени.

Формулы прямоугольников:

где:

h – шаг интегрирования;

y_i – значение подынтегральной функции от аргумента x_i, k=0, 1, …,n;

n – число разбиений интервала интегрирования a, b.

Формула трапеций:

где:

h – шаг интегрирования;

y₀ – значение подынтегральной функции при х = a;

y_n – значение подынтегральной функции при х = b;

Формула Симпсона:

Для символьного вычисления неопределенных и определенных интегралов используется функция Matlab int(), которая может иметь один из следующих форматов:

• int(S) – возвращает символьное значение неопределенного инте­грала от символьного выражения или массива символьных выражений S по переменной, которая автоматически определяется функцией findsym(). Если S – скаляр или матрица, то вычисляется интеграл по переменной 'х'.

• int(S, v) – возвращает неопределенный интеграл от S по символьной перемен­ной v.

• int(S, a, b) – возвращает определенный интеграл от S с пределами интегрирования от а до b, причем пределы интегрирования могут быть как символьными, так и числовыми.

• int(S, v, a, b) – возвращает определенный интеграл от S по пере­менной v с пределами от а до b.

Ниже приведены примеры использования функции Matlabint()
(рис. 2.3.1-1).

Рис. 2.3.1-1. Примеры вычисления интегралов

В системе MatLab функции вычисления интегралов используют численные методы трапеции, Симпсона и некоторые другие. Рассмотрим технологию интегрирования с использованием некоторых функций.

Для вычисления интеграла по формуле трапеции в MatLab используется функция trapz(x,y). Эта функция возвращает значение интеграла от функции y(x), которая может быть представлена вектором или матрицей. Если y(x) – матрица, то функция возвращает вектор значений интеграла каждого столбца матрицы. Если вектор узлов не задан - trapz(y), то в качестве ординат x используются индексы вектора y(x=1:length(y)), где функция определяет длину вектора y. Важно, что узлы по оси x могут быть как равноотстоящими, так и неравноотстоящими.