Материал: Sb95747

причем так, чтобы в интервале частот, где 0 L(ω) L , имелся избыток

указанные величины можно найти и иначе – с помощью приводимой во многих справочниках номограммы для определения вещественной частотной характеристики системы с единичной обратной связью по ЛЧХ разомкнутой системы. На указанной номограмме находят две кривые, соответствующие значениям P Pmax и P Pmin 1 Pmax , и заключают

их в прямоугольник. Его размерами будут удвоенные значения искомых величин.

Практически сопряжение СЧ- и НЧ-частей ЛАХ выполняют следующим образом. Сначала ограничивают СЧ-участок точкой, для которой значение ЛАХ составляет Lγ. Если СЧ-участок не пересекся с НЧ-

частью, то следует продлить его до пересечения со второй асимптотой. Если же он пересекся с НЧ-частью, то, в общем случае, необходимо сместить СЧ-участок вправо – так, чтобы его граничная точка попала на вторую асимптоту. Далее надо оценить избыток фазы в точке сопряжения СЧ- и НЧ-частей ЛАХ (т. е. на частоте ω2 ). Он должен удовлетворять

условию (5.3). Для определения значения фазы рекомендуется (как в данном случае, так и в аналогичных ситуациях на этапе синтеза желаемой ЛАХ и приближенного анализа качества системы) использовать формулу [3] для приближенной оценки значения ЛФХ минимально-фазовой системы по ее ЛАХ:

где (ωx ) – значение фазы в градусах на частоте ωx , а L – перепад ЛАХ (дБ) на интервале в две декады с частотой ωx посередине.

Обычно условие (5.3) легко выполняется. Если избыток фазы превышает значение γmin более чем на 5...10º, то для повышения точности

синтеза рекомендуют уменьшить избыток фазы, для чего следует сместить вторую асимптоту вправо (идя тем самым на сокращение СЧ-участка) или

16

увеличить ее наклон, что менее желательно, так как приведет к усложнению коррекции.

4. Сопряжение среднечастотной асимптоты с ВЧ-частью ЛАХ. СЧучасток с наклоном –20 дБ/дек необходимо ограничить справа точкой, для которой значение ЛАХ составляет Lγ (частота ω3 ). После этого надо

сформировать ВЧ-часть желаемой ЛАХ, выполнив изломы на частотах ω3 и ω4 . Метод требует, чтобы в интервале частот, в котором Lγ L(ω) 0 ,

удовлетворялось неравенство (5.3). Обычно его трудно выполнить, но следует, по крайней мере, стремиться обеспечить максимальный избыток фазы на частоте ω3 , для чего рекомендуется в разумных пределах увеличивать протяженность участка с наклоном –40 дБ/дек.

Использование номограмм Честната-Майера

Для построения СЧ- и ВЧ-частей желаемой ЛАХ могут быть использованы номограммы Честната-Майера [4], позволяющие для систем, имеющих характерные (типовые) ЛАХ с четырьмя участками, определять основные показатели качества переходной характеристики и амплитудной частотной характеристики замкнутой системы. Для синтеза желаемой ЛАХ эти номограммы используются следующим образом.

1.Задаются типом желаемой ЛАХ. В данной курсовой работе следящая система рассматривается как динамическая система третьего порядка, поэтому целесообразно выбрать характеристику типа –1/–2/–1/–3 (при необходимости по окончании синтеза можно выполнить сопряжение двух последних асимптот небольшим участком с наклоном –40 дБ/дек).

2.Задаются отношением ω3 ωc , выбрав его из ряда 1, 2, 4, 8 и ∞.

3.По результатам пп. 1 и 2 выбирают соответствующую пару номограмм, расположенных одна под другой.

4.По заданному значению перерегулирования определяют относительное значение максимума переходной характеристики Hm (в [4]

эта величина обозначена как (CR ) p ). Например, если σ 20 % , то

Hm 1,2 .

5.По построенной НЧ-части желаемой ЛАХ определяют значение L1

ординаты на первой сопрягающей частоте (см. рис. 1).

17

6. Для данного значения Hm по верхней номограмме находят значение ω1ωc . Для этого в соответствии со значением L1 выбирают на номограмме нужный график. Поскольку графики даны только для дискретного ряда значений L1 (80, 60, 40, 30 и 20 дБ), обычно требуется интерполяция.

7.Так как значение ω1 известно по результатам синтеза НЧ-части, по ω1ωc находят значение частоты среза ωc .

8.Для найденного значения ω1ωc по нижней номограмме (выбрав

значение времени регулирования tp . Последнее сравнивают со значением,

указанным в задании на курсовую работу.

9. Если найденное значение времени регулирования превышает заданное, следует попытаться добиться желаемого результата, повторив расчет для другого значения ω3 ωc . Если это не удается, необходимо

увеличить значение частоты среза.

10. Через точку на оси абсцисс графика ЛАХ, соответствующую найденному значению ωc , проводят асимптоту с наклоном –20 дБ/дек:

влево – до пересечения с НЧ-частью ЛАХ, вправо – до частоты ω3 .

11.От последней точки проводят вправо высокочастотную асимптоту

снаклоном –60 дБ/дек.

Упрощенное построение желаемой ЛАХ

Как указывалось в предисловии, для варианта h неплохие по степени соответствия исходным данным результаты дают упрощенные методики построения желаемой ЛАХ. Некоторые из них можно найти в [2]. При использовании этих методик рекомендуется при необходимости оценки значения фазы по ЛАХ применять формулу (5.4). Как и в случае использования описанных ранее методик, целесообразно дополнять упрощенную процедуру синтеза моделированием желаемой системы на ЭВМ.

Мы рекомендуем следующую упрощенную методику построения средне- и высокочастотной частей желаемой ЛАХ.

1. Определить частоту среза по формуле

18

c kt0р ,

в которой коэффициент k0 определяется эмпирическим выражением

среднечастотную асимптоту желаемой ЛАХ с коэффициентом наклона –20 дБ/дек, ограничив ее слева и справа частотами 2 a2 c и 3 a3 c .

Рекомендуется принять a3 равным 4 или 2. после чего вычислить коэффициент a2 по эмпирическим формулам

a2 0,01z( 0,567z3 3,1z 2 0,733z 8,60)

(для a3 4 ) или

a2 0,01z(0,104z3 0,542z 2 3,4z 2,54)

(для a3 2 ).

Если левый конец среднечастотного участка оказался левее второй асимптоты низкочастотной части ЛАХ, то необходимо весь среднечастотный участок сдвинуть вправо (не изменяя длин его левого и правого плеч) – так, чтобы его левая граничная точка попала на вторую асимптоту низкочастотной части ЛАХ. Разумеется, частота среза при этом примет новое значение, отличное от рассчитанного ранее.

Если же левый конец среднечастотного участка оказался правее второй асимптоты, то следует через эту граничную точку провести новую вторую асимптоту параллельно исходной, а первую асимптоту низкочастотной части продолжить до пересечения со второй.

3. Через правую граничную точку среднечастотного участка провести вправо участок с коэффициентом наклона –40 дБ/дек, ограничив его частотой 4 (6...8) c , после чего провести последний участок с

коэффициентом наклона –60 дБ/дек.

После построения желаемой ЛАХ необходимо промоделировать на ЭВМ желаемую систему (введя единичную обратную связь!) по методике,

19

описанной далее в разделе 6, выполнив приведенную там программу исследований. Наиболее важная задача моделирования – выяснить, не оказались ли показатели качества желаемой системы – значение М для варианта М и значения и tр для варианта h – хуже значений, указанных в

задании.

В случае если значение tр окажется больше заданного, следует

увеличить частоту среза ЛАХ. Если же значения М или превышают заданные, то надо увеличить протяженность среднечастотного участка ЛАХ, имеющего коэффициент наклона –20 дБ/дек, сдвинув вправо частоты3 и 4 (в некоторых случаях может потребоваться также увеличение c ).

После этого необходимо повторить моделирование желаемой системы.

6. МОДЕЛИРОВАНИЕ НА ЭВМ ЖЕЛАЕМОЙ СИСТЕМЫ

Ввиду некоторой неточности существующих методов синтеза желаемой ЛАХ необходимо с помощью моделирования на ЭВМ определить, в какой степени в системе, имеющей полученную желаемую ЛАХ, выдерживаются указанные в задании требования к точности и динамическим свойствам. Это имеет смысл еще и потому, что свойства скорректированной системы всегда будут несколько отличаться от свойств желаемой системы. Если впоследствии выяснится, что свойства скорректированной системы отличаются от требуемых, то важно знать, вызвано это недостатками коррекции или ошибками еще на этапе синтеза желаемой ЛАХ.

Для моделирования можно использовать любое доступное стандартное программное обеспечение, например пакет MATLAB.

Подготовка к моделированию заключается в составлении структурной схемы следящей системы по желаемой ЛАХ системы. Удобно, например, представить передаточную функцию разомкнутой системы как произведение передач вида

Здесь Dω– добротность по скорости, Ti = ωi-1(i = 1,..,4).

В результате моделирования необходимо определить:

20