Материал: Sb95841

Приняв в качестве лишних неизвестных внутренние усилия, во многих случаях можно значительно упростить расчет. Например, если исходная система симметрична (по конфигурации и расположению жесткостей), то основную систему выгодно строить также симметричной, приняв при этом, что некоторые побочные коэффициенты канонических уравнений будут равны нулю. Так, при расчете симметричной рамы (рис. 2.3, a) основную систему целесообразно получить разрезом горизонтального стержня (ригеля) посередине (рис. 2.4, a). При этом основная система будет также симметричной. Тогда в числе лишних неизвестных будем иметь симметричные усилия x1, x3 и кососимметричные усилия x2.

Эпюры изгибающих моментов от усилий x1 = 1, x2 = 1 и x3 = 1 показа-

ны на рис. 2.4, б–г. Следует заметить, что эпюры M y1 и M y3 симметричны,

а эпюр M y2 кососимметричен. Перемножение симметричного эпюра на ко-

сосимметричный дает в результате нуль.

Определим перемещение δ12 δ21. Здесь удобно применить способ Верещагина – перемножение эпюров, где результат вычисления интеграла есть произведение площади одного эпюра на ординату другого, взятого под центром тяжести площади первого эпюра:

Рис. 2.4

26

Таким образом, система уравнений (2.6) упрощается и примет вид

эпюр М ур также кососимметричен (рис. 2.4, а) и перемещение 1p 3 p 0.

Тогда из первого и третьего уравнений (2.7) следует, что симметричные усилия в месте разреза равны нулю: x1 0, x3 0.

Следует отметить, что когда нагрузка симметрична, то эпюр М ур также симметричен и 2 p 0. Тогда из второго уравнения (2.7) следует, что косо-

симметричное усилие x2 0.

Как было показано ранее, коэффициенты и свободные члены системы канонических уравнений представляют собой перемещения в основной системе, вызванные действием единичных неизвестных сил и приложенной нагрузкой. Они определяются перемножением эпюров изгибающих моментов. При перемножении эпюров (использование метода Верещагина) могут быть допущены ошибки, что может дать значительные погрешности в определении перемещений. При этом результат решения канонических уравнений будет неверным.

Для оценки ошибки необходимо проводить проверку полученных коэффициентов системы канонических уравнений.

Построчная проверка:

– загрузим основную систему одновременно всеми лишними неизвестными, равными единице, и построим от них в основной системе эпюр изгибающих моментов. Его ординаты обозначим через M ys . Тогда для каждого

сечения системы имеем

My M y1 M y2 ... M yn;

–умножим суммарный эпюр на каждый из единичных эпюров поочередно. При этом получим суммарные значения коэффициентов при неизвестных, входящих в каждое из уравнений системы канонических уравнений:

n

δ1s δ1i δ11 δ12 δ13 δ1n; i 1

27

где δ1s , δ2s , δ3s , ..., δns – суммы коэффициентов в строке.

Проверка вычисленных коэффициентов (перемещений), входящих в первое каноническое уравнение, состоит в сопоставлении их суммы с величиной δ1s , т. е. для каждой k-й строки

n

δki δks. i 1

Для универсальной проверки составим сумму коэффициентов канонического уравнения δ1s , δ2s , δ3s , ..., δns :

Значит, δ δss.

28

Собственно универсальная проверка состоит в следующем:

1. Алгебраическим сложением определяется сумма всех найденных коэффициентов (единичных перемещений), входящих в систему канонических уравнений:

2. Проверяется выполнение условия δ δss.

Для отыскания ошибок в определении коэффициентов пользуются нера-

венством δiiδik δik2 .

Для проверки значений коэффициентов канонических уравнений, зависящих от нагрузки, поступают следующим образом:

заданной нагрузки в основной системе;

– проверяют выполнение условия

n

ip 1p 2 p ... np sp.

i 1

Для оценки погрешности расчета можно ограничиться универсальной проверкой. Для определения ошибки при вычислении коэффициентов рекомендуется проводить построчную проверку.

Приведенные формулы и рассуждения рассмотрены на примерах стержневых систем, испытывающих деформацию изгиба, однако все полученные математические зависимости справедливы для систем любого вида. Различие заключается лишь в форме выражений для вычисления коэффициентов (2.4).

29

ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица П.1

Механические характеристики конструкционных материалов

30