Документ: Sb95841, страницы 16-20 | База учебных материалов

Материал: Sb95841

Смотрите также:

5. Проведем сечение на расстоянии x от начала координат (рис. 1.11, а) и рассмотрим равновесие левой отсеченной части стержня. Запишем уравнение изгибающего момента M y и производной изгибающего момента по обоб-

щенной силе:

x 0, l ,

M y Px,

M y

x .

P

Pоб

6. Определим перемещение uz0 по формуле (1.4):

l

M y

1

l

Pl3

uz0

dx

( Px)( x)dx

uz0

.

EJ

P

EJ

3EJ

0

y

y 0

y

Пример 1.3. Рассмотрим конструкцию, расчетная схема которой приведена на рис. 1.11, б. Стержень жестко закреплен в крайнем левом сечении. Сила Р действует на правом торце стержня. Длина стержня – l. Жесткость стержня при изгибе EJ y const .

Требуется определить перемещение uzA сечения стержня на расстоянии x = l/2 от начала координат.

Решение:

1.Проведем оси координат. Начало координат выберем в крайнем левом сечении, направим ось x вдоль оси стержня, ось z – вниз, а ось y – перпендикулярно плоскости чертежа так, чтобы система координатных осей стала правой.

2.Искомое линейное перемещение uzA считаем обобщенным переме-

щением: uzA .

3. Обобщенная сила, соответствующая обобщенному перемещению, в сечении x = l/2 отсутствует. Для того чтобы можно было воспользоваться теоремой Кастильяно, приложим в этом сечении некоторую дополнительную силу Pд 0. Значение перемещения uzA при этом не изменится. Тогда обоб-

щенная сила, соответствующая обобщенному перемещению: Pоб Pд .

4. Реакции опоры можно не определять, если рассматривать равновесие правой отсеченной части при составлении уравнения изгибающего момента M y в сечениях стержня.

16

5. Точка А разделяет стержень на два участка. Запишем уравнения изгибающего момента на каждом участке и подсчитаем значение производной изгибающего момента по обобщенной силе.

Первый участок: x 0, l2 :

M		P l x P	l 2 x ,		M y		(l 2 x).
	y
		д			Pд

Второй участок: x l 2, l ,
		M y P l x ,		M y		0.

				Pд

6. По формуле (1.4) определим перемещение uzA с учетом того, что

Pд 0:

	1	l /2	P(l x) ( l 2 x) dx		5 Pl	3
uz A				uzA

	EJ y				48 EJ y
		0

Пример 1.4. Рассмотрим конструкцию, расчетная схема которой приведена на рис. 1.11, в. Стержень закреплен двумя опорами. Момент M0 действует посередине пролета стержня. Длина стержня равна l. Жесткость стержня при изгибе EJ y const .

Требуется определить угол поворота C сечения стержня при x l2 . Решение.

1.Проведем оси координат. Начало координат выберем в крайнем левом сечении, направим ось x вдоль оси стержня, ось z – вниз, а ось y – перпендикулярно плоскости чертежа так, чтобы система координатных осей стала правой.

2.Искомое перемещение – угол поворота сечения C – считаем обоб-

щенным перемещением: C .

3. Обобщенная сила, соответствующая обобщенному перемещению, – это сосредоточенный момент M0 в этом сечении вместе с опорными реак-

циями, которые зависят от M0 : Pоб M0 .

4. Реакции опор обозначены на рис. 1.11, в. Определим их, составив уравнения равновесия системы:

17

Pix 0	H 0;	M A(Pi ) 0 M0	Bl 0 B			M0	;
Pix 0	H 0;	M A(Pi ) 0 M0	Bl 0 B			l	;
i		i				l
i		i
M B (Pi ) 0 M0 Al 0			A	M0	.
M B (Pi ) 0 M0 Al 0			A		.
i				l
i

5. Запишем уравнения изгибающего момента в сечениях стержня на каждом участке и подсчитаем значение производной изгибающего момента по обобщенной силе.

Первый участок x 0, l2 :

M		Ax	M	0	x,	M y	x	.
	y		l			M0	l

Второй участок: x l2, l :

M

B(l x)

M

0

(l x),

M y

(l x)

.

y

l

M0

l

6. По формуле (1.4) найдем угол поворота C :

1

l /2

M

0

1

l

M

0

(l

x) l dx

C

x

( x l)dx

(l x)

EJ y 0

l

EJ y l /2

l

1

M0l

.

C

12 EJ y

Замечание. Положительное значение угла поворота означает, что поворот сечения произошел в направлении действия обобщенной силы – момента M0 .

1.2.5. Формула Максвелла–Мора

Внутренние усилия, входящие в (1.4), являются линейными функциями приложенных сил Pi и могут быть записаны в форме сумм:

n	n		n
N N (i)Pi ,	Qy Q(yi)Pi ,		Qz Qz(i)Pi ,
i1	i1		i1	(1.5)
n	n		n	(1.5)
n	n		n
M x M x(i)Pi ,	M y M	(yi)Pi ,	M z M z(i)Pi.
i1	i1		i1
Смысл коэффициентов N (i) , ..., M z(i)		можно выяснить следующим обра-
зом: положим силы Pi равными нулю при i k			и приравняем силу Pk к еди-

18

нице (при

i k ). Тогда получим:

N N (k),

Q

y

Q(k ),

Q Q(k ),

M

x

y

z z

M (k ) , M

y

M (k ), M

z

M (k ).

x

y

z

Таким образом, коэффициенты есть внутренние усилия, вызываемые

единичной силой.

Дифференцируем (1.5) по Pk и получаем:

N

Qy

Q(k ) ,

Q

N (k ) ,

z Q(k ) ,

Pk

y

Pk

z

M

x

M (k ) ,

M y

M (k )

,

M

z

M (k ).

Pk

x

Pk

y

Pk

z

Производная от внутреннего усилия по обобщенной силе есть внутреннее усилие от внешней силы, равной единице.

Окончательно формула Максвелла–Мора имеет вид

M yM y

NN

M

x

M

x

M

z

δi

dx

z

dx

EF

GJρ

EJ y

EJ z

l

QyQy

Q Q

Kz

z

dx K y

dx,

(1.6)

l

GF

l

GF

где N, ..., Qz – внутренние усилия от единичной силы.

При определении перемещений по формуле Максвелла–Мора необходимо в сечении, где вычисляется перемещение, приложить внешнюю силу

P 1 или	M 1 (если определяется угловое перемещение) независимо от
1	1

того, приложены в этом сечении какие-либо внешние силы или нет. Изложенные энергетические методы механики твердого деформирован-

ного тела широко используются при решении статически неопределимых задач. Известны два метода расчета статически неопределимых систем – метод сил и метод перемещений. В первом за лишние неизвестные принимаются силы, во втором – перемещения.

Пример 1.5. Рассмотрим конструкцию, расчетная схема которой показана на рис. 1.12. Стержень длиной 2а = 1 м закреплен на двух опорах и нагружен равномерно распределенной по длине силой q = 100 Н/м. Жесткость стержня при изгибе постоянна: EJ y const . Материал стержня – сталь СТ5.

Поперечное сечение стержня – прямоугольник шириной b = 2 см и высотой h = 4 см.

19

Требуется определить перемещение середины стержня (точка С). Решение:

1.Проведем оси координат. Начало координат выберем в крайнем левом сечении, направим ось x вдоль оси стержня, ось z – вниз, а ось y – перпендикулярно плоскости чертежа так, чтобы система координатных осей стала правой.

2.Искомое линейное перемещение C определим по формуле (1.6). Уч-

тем, что при изгибе отличен от нуля только изгибающий момент M y , а влия-

нием перерезывающей силы Qz для длинного стержня можно пренебречь:


δi	M yM y	dx.	(1.7)
δi	EJ y	dx.	(1.7)
l	EJ y
l
3. Рассмотрим сначала стержень,		нагруженный	только силой q

(рис. 1.12). Вследствие симметрии задачи обе опорные реакции одинаковы: R qa. Стержень имеет один грузовой участок. Изгибающий момент най-

дем, используя метод сечений: M y qax qx2 2.

4. Рассмотрим теперь стержень, нагруженный только единичной силой P = 1 (рис. 1.12). В этом случае реакции опор равны 0.5. Стержень имеет два грузовых участка. Определим методом сечений изгибающий момент от еди-

C 1

EJ y

a

qax0

qx	2	x		2a
qx		x	dx	qax


2		2
				a

qx	2
qx
		a
2		a
2

x
x
	dx .
	dx .
2

20

ничной силы

y . На первом участке (0 x a)

M y 0.5; на втором

(a x 2a) –

5. Запишем теперь интеграл Мора (1.7):